Модульная мультипликативная обратная функция в Python

Имеется ли в стандартном Python-модуле функция для вычисления модульного мультипликативного обратного числа, то есть числа y = invmod(x, p), такого, что x*y == 1 (mod p)? Google, похоже, не дает никаких хороших советов по этому поводу.

Конечно, можно придумать 10-лайнер с внутренней поддержкой расширенный алгоритм Евклида, но зачем изобретать колесо.

Например, Java BigInteger имеет метод modInverse. У Python есть что-то подобное?

Ответы

Ответ 1

Возможно, кто-то найдет это полезным (от wikibooks):

def egcd(a, b):
    if a == 0:
        return (b, 0, 1)
    else:
        g, y, x = egcd(b % a, a)
        return (g, x - (b // a) * y, y)

def modinv(a, m):
    g, x, y = egcd(a, m)
    if g != 1:
        raise Exception('modular inverse does not exist')
    else:
        return x % m

Ответ 2

Если ваш модуль прост (вы называете это p), то вы можете просто вычислить:

y = x**(p-2) mod p  # Pseudocode

Или в собственно Python:

y = pow(x, p-2, p)

Вот кто-то, кто реализовал некоторые возможности теории чисел в Python: http://www.math.umbc.edu/~campbell/Computers/Python/numbthy.html

Вот пример, сделанный в приглашении:

m = 1000000007
x = 1234567
y = pow(x,m-2,m)
y
989145189L
x*y
1221166008548163L
x*y % m
1L

Ответ 3

Вы также можете посмотреть на модуль gmpy. Это интерфейс между Python и библиотекой множественной точности GMP. gmpy предоставляет функцию инвертирования, которая делает именно то, что вам нужно:

>>> import gmpy
>>> gmpy.invert(1234567, 1000000007)
mpz(989145189)

Обновленный ответ

Как отмечает @hyh, gmpy.invert() возвращает 0, если обратного не существует. Это соответствует поведению GMP mpz_invert(). gmpy.divm(a, b, m) предоставляет общее решение для a=bx (mod m).

>>> gmpy.divm(1, 1234567, 1000000007)
mpz(989145189)
>>> gmpy.divm(1, 0, 5)
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
ZeroDivisionError: not invertible
>>> gmpy.divm(1, 4, 8)
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
ZeroDivisionError: not invertible
>>> gmpy.divm(1, 4, 9)
mpz(7)

divm() вернет решение, когда gcd(b,m) == 1 и вызовет исключение, когда мультипликативное обратное не существует.

Отказ от ответственности: я текущий хранитель библиотеки gmpy.

Обновленный ответ 2

gmpy2 теперь правильно вызывает исключение, когда обратное не существует:

>>> import gmpy2

>>> gmpy2.invert(0,5)
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
ZeroDivisionError: invert() no inverse exists

Ответ 4

Вот однострочный для CodeFights; это одно из самых коротких решений:

MMI = lambda A, n,s=1,t=0,N=0: (n < 2 and t%N or MMI(n, A%n, t, s-A//n*t, N or n),-1)[n<1]

Он вернет -1, если A не имеет мультипликативного обратного в n.

Использование:

MMI(23, 99) # returns 56
MMI(18, 24) # return -1

В решении используется Extended Euclidean Algorithm.

Ответ 5

Sympy, модуль Python для символической математики, имеет встроенную модульную обратную функцию, если вы не хотите реализовывать свою собственную (или если вы уже используете Sympy):

from sympy import mod_inverse

mod_inverse(11, 35) # returns 16
mod_inverse(15, 35) # raises ValueError: 'inverse of 15 (mod 35) does not exist'

Похоже, что это не задокументировано на сайте Sympy, но вот строка документации: Sympy mod_inverse строка документации на Github

Ответ 6

Вот мой код, он может быть неаккуратным, но, похоже, он работает для меня.

# a is the number you want the inverse for
# b is the modulus

def mod_inverse(a, b):
    r = -1
    B = b
    A = a
    eq_set = []
    full_set = []
    mod_set = []

    #euclid algorithm
    while r!=1 and r!=0:
        r = b%a
        q = b//a
        eq_set = [r, b, a, q*-1]
        b = a
        a = r
        full_set.append(eq_set)

    for i in range(0, 4):
        mod_set.append(full_set[-1][i])

    mod_set.insert(2, 1)
    counter = 0

    #extended euclid algorithm
    for i in range(1, len(full_set)):
        if counter%2 == 0:
            mod_set[2] = full_set[-1*(i+1)][3]*mod_set[4]+mod_set[2]
            mod_set[3] = full_set[-1*(i+1)][1]

        elif counter%2 != 0:
            mod_set[4] = full_set[-1*(i+1)][3]*mod_set[2]+mod_set[4]
            mod_set[1] = full_set[-1*(i+1)][1]

        counter += 1

    if mod_set[3] == B:
        return mod_set[2]%B
    return mod_set[4]%B

Ответ 7

Приведенный выше код не будет работать в python3 и менее эффективен по сравнению с вариантами GCD. Однако этот код очень прозрачен. Это побудило меня создать более компактную версию:

def imod(a, n):
 c = 1
 while (c % a > 0):
     c += n
 return c // a

Ответ 8

Чтобы вычислить модулярный мультипликативный обратный, я рекомендую использовать Extended Euclidean Algorithm следующим образом:

def multiplicative_inverse(a, b):
    origA = a
    X = 0
    prevX = 1
    Y = 1
    prevY = 0
    while b != 0:
        temp = b
        quotient = a/b
        b = a%b
        a = temp
        temp = X
        a = prevX - quotient * X
        prevX = temp
        temp = Y
        Y = prevY - quotient * Y
        prevY = temp

    return origA + prevY

Ответ 9

Я пробую разные решения из этой темы, и в конце я использую это:

def egcd(self, a, b):
    lastremainder, remainder = abs(a), abs(b)
    x, lastx, y, lasty = 0, 1, 1, 0
    while remainder:
        lastremainder, (quotient, remainder) = remainder, divmod(lastremainder, remainder)
        x, lastx = lastx - quotient*x, x
        y, lasty = lasty - quotient*y, y
    return lastremainder, lastx * (-1 if a < 0 else 1), lasty * (-1 if b < 0 else 1)


def modinv(self, a, m):
    g, x, y = self.egcd(a, m)
    if g != 1:
        raise ValueError('modinv for {} does not exist'.format(a))
    return x % m

Modular_inverse в Python

Ответ 10

Ну, у меня нет функции в Python, но у меня есть функция в C, которую вы можете легко преобразовать в Python, в приведенном ниже алгоритме функции c расширенный евклидов используется для вычисления обратного мода.

int imod(int a,int n){
int c,i=1;
while(1){
    c = n * i + 1;
    if(c%a==0){
        c = c/a;
        break;
    }
    i++;
}
return c;}

Python Function

def imod(a,n):
  i=1
  while True:
    c = n * i + 1;
    if(c%a==0):
      c = c/a
      break;
    i = i+1

  return c

Ссылка на вышеупомянутую функцию C взята из следующей программы C, чтобы найти модульную мультипликативную инверсию двух относительно простых чисел

Ответ 11

Вот краткий 1-лайнер, который делает это, без использования каких-либо внешних библиотек.

# Given 0<a<b, returns the unique c such that 0<c<b and a*c == gcd(a,b) (mod b).
# In particular, if a,b are relatively prime, returns the inverse of a modulo b.
def invmod(a,b): return 0 if a==0 else 1 if b%a==0 else b - invmod(b%a,a)*b//a

Обратите внимание, что это действительно просто egcd, оптимизированный для возврата только одного интересующего коэффициента.

Ответ 12

из реализации Cpython исходного кода:

def invmod(a, n):
    b, c = 1, 0
    while n:
        q, r = divmod(a, n)
        a, b, c, n = n, c, b - q*c, r
    # at this point a is the gcd of the original inputs
    if a == 1:
        return b
    raise ValueError("Not invertible")

согласно комментарию над этим кодом, он может возвращать небольшие отрицательные значения, так что вы можете проверить, если отрицательный, и добавить n, если отрицательный, прежде чем возвращать b.