Ответ 1
List<string> является чем-то специфичным для С# и зависит от поддержки библиотеки базового класса (BCL) в .NET.
Для TypeScript по умолчанию (без внешней библиотеки, например https://github.com/basarat/typescript-collections) вы ограничены встроенным типом массива JavaScript. Вот небольшой пример, чтобы показать его использование:
var foo:string[] = ['a','b'];
foo.push('c');
console.log(foo) // [a,b,c]