Ответ 1
Чтобы подойти к этой проблеме, я бы использовал целочисленную структуру программирования и определил три набора переменных решения:
- x_ij: переменная двоичного индикатора для того, будем ли мы строить мост в месте расположения воды (i, j).
- y_ijbcn: двоичный указатель того, является ли местоположение воды (i, j) n-й точкой, связывающей остров b с островом c.
- l_bc: бинарная индикаторная переменная для привязки островов b и c (иначе вы можете ходить только на квадратах моста от b до c).
Для затрат на строительство моста c_ij целевое значение для минимизации составляет sum_ij c_ij * x_ij. Нам нужно добавить следующие ограничения для модели:
- Нам нужно убедиться, что переменные y_ijbcn действительны. Мы всегда можем достичь только площади воды, если мы построим там мост, поэтому
y_ijbcn <= x_ijдля каждого местоположения воды (i, j). Кроме того,y_ijbc1должно равняться 0, если (i, j) не граничит с островом b. Наконец, при n > 1,y_ijbcnможно использовать, только если на этапе n-1 использовалось соседнее местоположение воды. ОпределяяN(i, j)как соседние (i, j) квадраты воды, это эквивалентноy_ijbcn <= sum_{(l, m) in N(i, j)} y_lmbc(n-1). - Нам нужно убедиться, что переменные l_bc заданы только в том случае, если связаны b и c. Если мы определяем
I(c)как места, граничащие с островом c, это можно сделать с помощьюl_bc <= sum_{(i, j) in I(c), n} y_ijbcn. - Нам необходимо обеспечить, чтобы все острова были связаны, прямо или косвенно. Это может быть выполнено следующим образом: для каждого непустого собственного подмножества S островов требуется, чтобы по крайней мере один остров в S был связан, по крайней мере, с одним островом в дополнении к S, который мы назовем S '. В ограничениях мы можем реализовать это, добавив ограничение для каждого непустого множества S размера <= K/2 (где K - число островов),
sum_{b in S} sum_{c in S'} l_bc >= 1.
Для экземпляра проблемы с островками K, W-клетками воды и заданной максимальной длиной пути N это смешанная модель целочисленного программирования с переменными O(K^2WN) и ограничениями O(K^2WN + 2^K). Очевидно, что это станет трудноразрешимым, поскольку размер проблемы станет большим, но он может быть разрешен для размеров, о которых вы заботитесь. Чтобы получить представление о масштабируемости, я реализую его в python, используя пакет пульпы. Пусть сначала начните с меньшей карты 7 x 9 с тремя островами в нижней части вопроса:
import itertools
import pulp
water = {(0, 2): 2.0, (0, 3): 1.0, (0, 4): 1.0, (0, 5): 1.0, (0, 6): 2.0,
(1, 0): 2.0, (1, 1): 9.0, (1, 2): 1.0, (1, 3): 9.0, (1, 4): 9.0,
(1, 5): 9.0, (1, 6): 1.0, (1, 7): 9.0, (1, 8): 2.0,
(2, 0): 1.0, (2, 1): 9.0, (2, 2): 9.0, (2, 3): 1.0, (2, 4): 9.0,
(2, 5): 1.0, (2, 6): 9.0, (2, 7): 9.0, (2, 8): 1.0,
(3, 0): 9.0, (3, 1): 1.0, (3, 2): 9.0, (3, 3): 9.0, (3, 4): 5.0,
(3, 5): 9.0, (3, 6): 9.0, (3, 7): 1.0, (3, 8): 9.0,
(4, 0): 9.0, (4, 1): 9.0, (4, 2): 1.0, (4, 3): 9.0, (4, 4): 1.0,
(4, 5): 9.0, (4, 6): 1.0, (4, 7): 9.0, (4, 8): 9.0,
(5, 0): 9.0, (5, 1): 9.0, (5, 2): 9.0, (5, 3): 2.0, (5, 4): 1.0,
(5, 5): 2.0, (5, 6): 9.0, (5, 7): 9.0, (5, 8): 9.0,
(6, 0): 9.0, (6, 1): 9.0, (6, 2): 9.0, (6, 6): 9.0, (6, 7): 9.0,
(6, 8): 9.0}
islands = {0: [(0, 0), (0, 1)], 1: [(0, 7), (0, 8)], 2: [(6, 3), (6, 4), (6, 5)]}
N = 6
# Island borders
iborders = {}
for k in islands:
iborders[k] = {}
for i, j in islands[k]:
for dx in [-1, 0, 1]:
for dy in [-1, 0, 1]:
if (i+dx, j+dy) in water:
iborders[k][(i+dx, j+dy)] = True
# Create models with specified variables
x = pulp.LpVariable.dicts("x", water.keys(), lowBound=0, upBound=1, cat=pulp.LpInteger)
pairs = [(b, c) for b in islands for c in islands if b < c]
yvals = []
for i, j in water:
for b, c in pairs:
for n in range(N):
yvals.append((i, j, b, c, n))
y = pulp.LpVariable.dicts("y", yvals, lowBound=0, upBound=1)
l = pulp.LpVariable.dicts("l", pairs, lowBound=0, upBound=1)
mod = pulp.LpProblem("Islands", pulp.LpMinimize)
# Objective
mod += sum([water[k] * x[k] for k in water])
# Valid y
for k in yvals:
i, j, b, c, n = k
mod += y[k] <= x[(i, j)]
if n == 0 and not (i, j) in iborders[b]:
mod += y[k] == 0
elif n > 0:
mod += y[k] <= sum([y[(i+dx, j+dy, b, c, n-1)] for dx in [-1, 0, 1] for dy in [-1, 0, 1] if (i+dx, j+dy) in water])
# Valid l
for b, c in pairs:
mod += l[(b, c)] <= sum([y[(i, j, B, C, n)] for i, j, B, C, n in yvals if (i, j) in iborders[c] and B==b and C==c])
# All islands connected (directly or indirectly)
ikeys = islands.keys()
for size in range(1, len(ikeys)/2+1):
for S in itertools.combinations(ikeys, size):
thisSubset = {m: True for m in S}
Sprime = [m for m in ikeys if not m in thisSubset]
mod += sum([l[(min(b, c), max(b, c))] for b in S for c in Sprime]) >= 1
# Solve and output
mod.solve()
for row in range(min([m[0] for m in water]), max([m[0] for m in water])+1):
for col in range(min([m[1] for m in water]), max([m[1] for m in water])+1):
if (row, col) in water:
if x[(row, col)].value() > 0.999:
print "B",
else:
print "-",
else:
print "I",
print ""
Это займет 1,4 секунды для запуска с использованием решателя по умолчанию из пакета пульпы (решателя CBC) и выводит правильное решение:
I I - - - - - I I
- - B - - - B - -
- - - B - B - - -
- - - - B - - - -
- - - - B - - - -
- - - - B - - - -
- - - I I I - - -
Затем рассмотрим полную проблему в верхней части вопроса, которая представляет собой сетку 13 x 14 с 7 островами:
water = {(i, j): 1.0 for i in range(13) for j in range(14)}
islands = {0: [(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1)],
1: [(9, 0), (9, 1), (10, 0), (10, 1), (10, 2), (11, 0), (11, 1),
(11, 2), (12, 0)],
2: [(0, 7), (0, 8), (1, 7), (1, 8), (2, 7)],
3: [(7, 7), (8, 6), (8, 7), (8, 8), (9, 7)],
4: [(0, 11), (0, 12), (0, 13), (1, 12)],
5: [(4, 10), (4, 11), (5, 10), (5, 11)],
6: [(11, 8), (11, 9), (11, 13), (12, 8), (12, 9), (12, 10), (12, 11),
(12, 12), (12, 13)]}
for k in islands:
for i, j in islands[k]:
del water[(i, j)]
for i, j in [(10, 7), (10, 8), (10, 9), (10, 10), (10, 11), (10, 12),
(11, 7), (12, 7)]:
water[(i, j)] = 20.0
N = 7
Решатели MIP часто получают хорошие решения относительно быстро, а затем проводят огромное время, пытаясь доказать оптимальность решения. Используя тот же решающий код, что и выше, программа не завершается в течение 30 минут. Тем не менее, вы можете предоставить тайм-аут решателю, чтобы получить приблизительное решение:
mod.solve(pulp.solvers.PULP_CBC_CMD(maxSeconds=120))
Это дает решение с объективным значением 17:
I I - - - - - I I - - I I I
I I - - - - - I I - - - I -
I I - - - - - I - B - B - -
- - B - - - B - - - B - - -
- - - B - B - - - - I I - -
- - - - B - - - - - I I - -
- - - - - B - - - - - B - -
- - - - - B - I - - - - B -
- - - - B - I I I - - B - -
I I - B - - - I - - - - B -
I I I - - - - - - - - - - B
I I I - - - - - I I - - - I
I - - - - - - - I I I I I I
Чтобы улучшить качество получаемых решений, вы можете использовать коммерческий MIP-решатель (это бесплатно, если вы находитесь в академическом учреждении и, скорее всего, не свободны в противном случае). Например, здесь производительность Gurobi 6.0.4, опять же с 2-минутным ограничением по времени (хотя из журнала решений мы читаем, что решатель нашел текущее лучшее решение в течение 7 секунд):
mod.solve(pulp.solvers.GUROBI(timeLimit=120))
Это фактически находит решение объективного значения 16, лучше, чем OP удалось найти вручную!
I I - - - - - I I - - I I I
I I - - - - - I I - - - I -
I I - - - - - I - B - B - -
- - B - - - - - - - B - - -
- - - B - - - - - - I I - -
- - - - B - - - - - I I - -
- - - - - B - - B B - - - -
- - - - - B - I - - B - - -
- - - - B - I I I - - B - -
I I - B - - - I - - - - B -
I I I - - - - - - - - - - B
I I I - - - - - I I - - - I
I - - - - - - - I I I I I I