Ответ 1
Вы можете установить время по умолчанию через JavaScript:
$('mySelector').timepicker({defaultTime: '10:45 PM'});
Или непосредственно через атрибут value вашего timepicker:
<div class="bootstrap-timepicker">
<input id="timepicker" type="text" value="10:45 AM"/>
</div>
$('.myClass').timepicker({defaultTime: 'value'});
РЕДАКТИРОВАТЬ: был для параметра timepicker по умолчанию, моего плохого.
Для вашего конкретного timepicker возможно установить дату-время следующим образом:
var picker = $('#datetimepicker').data('datetimepicker');
picker.setDate(myDate);