Ответ 1
Как отмечалось в комментариях, это может соответствовать теоретико-графическим проблемам, которые все еще изучаются в отношении сложности и алгоритмов, которые могут быть использованы для их решения.
Однако сложность всегда относится к некоторому размеру ввода. И здесь, неясно, каков ваш размер ввода. В качестве примера: я думаю, что наиболее подходящий алгоритм может зависеть от того, собираетесь ли вы масштабироваться...
- количество чисел (1... 9 в вашем примере) или
- количество наборов в каждом наборе (3 в вашем примере) или
- размер наборов в наборах (5, в вашем примере)
Используя ваш текущий подход, масштабирование числа чисел было бы невозможным, потому что вы не можете вычислить все перестановки для чисел, намного превышающих 9 из-за экспоненциального времени работы. Но если бы ваше намерение состояло в проверке изоморфности множеств, содержащих 1000 множеств, алгоритм, который был многочлен числа наборов (если бы такой алгоритм существовал), по-прежнему может быть медленнее на практике.
Здесь я хотел бы набросать подход, который я пробовал. Я не выполнил подробный анализ сложности (что может быть бессмысленным, если вообще не существует решения полиномиального времени - и доказать или опровергнуть, что не может быть предметом ответа здесь).
Основная идея заключается в следующем:
Сначала вы вычисляете действительные "домены" для каждого номера входа. Это возможные значения, на которые можно сопоставить каждый номер на основе перестановки. Если заданные числа равны 1,2 и 3, то домены изначально могли бы быть
1 -> { 1, 2, 3 }
2 -> { 1, 2, 3 }
3 -> { 1, 2, 3 }
Но для данных множеств уже можно получить некоторую информацию, которая позволяет уменьшить домены. Например: любое число, которое появляется n раз в первых наборах, должно быть сопоставлено с числом, которое появляется n раз во вторых наборах.
Предположим, что заданные множества
{{1,2},{1,3}}
{{3,1},{3,2}}
Тогда домены будут только
1 -> { 3 }
2 -> { 1, 2 }
3 -> { 1, 2 }
потому что 1 появляется дважды в первых наборах, и единственное значение, которое появляется дважды во вторых наборах, это 3.
После вычисления начальных доменов можно выполнить откат возможных назначений (перестановок) чисел. Откат можно грубо сделать как
for (each number n that has no permutation value assigned) {
assign a permutation value (from the current domain of n) to n
update the domains of all other numbers
if the domains are no longer valid, then backtrack
if the solution was found, then return it
}
(Идея каким-то образом "вдохновлена" Arc Consistency 3 Algorithm, хотя технически проблемы напрямую не связаны)
Во время обратного отсчета можно использовать различные критерии отсечения. То есть можно подумать о различных трюках, чтобы быстро проверить, являются ли определенные назначения (частичная перестановка) и домены, которые подразумеваются этим назначением, "действительными" или нет.
Очевидным (необходимым) критерием правильности присвоения является то, что ни одна из доменов не может быть пуста. В более общем плане: каждый домен может не отображаться чаще, чем количество содержащихся в нем элементов. Когда вы узнаете, что домены
1 -> { 4 }
2 -> { 2,3 }
3 -> { 2,3 }
4 -> { 2,3 }
тогда уже не может быть корректного решения, и алгоритм может отследить назад.
Конечно, bactracking имеет тенденцию иметь экспоненциальную сложность во входном размере. Но, возможно, просто нет эффективного алгоритма для этой проблемы. В этом случае обрезка, которая может использоваться во время обратного отсчета, может по меньшей мере помочь сократить время работы для определенных случаев (или для небольших размеров ввода в целом) по сравнению с обычным поиском грубой силы.
Вот реализация моих экспериментов на Java. Это не особенно элегантно, но показывает, что он в основном работает: он быстро находит решение, если он существует, и (для заданных размеров ввода) не требуется много времени, чтобы обнаружить, когда нет решения.
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.Collection;
import java.util.Collections;
import java.util.Comparator;
import java.util.LinkedHashMap;
import java.util.LinkedHashSet;
import java.util.List;
import java.util.Map;
import java.util.Map.Entry;
import java.util.Set;
public class SetSetIsomorphisms
{
public static void main(String[] args)
{
Map<Integer, Integer> p = new LinkedHashMap<Integer, Integer>();
p.put(0, 3);
p.put(1, 4);
p.put(2, 8);
p.put(3, 2);
p.put(4, 1);
p.put(5, 5);
p.put(6, 0);
p.put(7, 9);
p.put(8, 7);
p.put(9, 6);
Set<Set<Integer>> sets0 = new LinkedHashSet<Set<Integer>>();
sets0.add(new LinkedHashSet<Integer>(Arrays.asList(1,2,3,4,5)));
sets0.add(new LinkedHashSet<Integer>(Arrays.asList(2,4,5,6,7)));
sets0.add(new LinkedHashSet<Integer>(Arrays.asList(0,8,3,9,7)));
Set<Set<Integer>> sets1 = new LinkedHashSet<Set<Integer>>();
for (Set<Integer> set0 : sets0)
{
sets1.add(applyMapping(set0, p));
}
// Uncomment these lines for a case where NO permutation is found
//sets1.remove(sets1.iterator().next());
//sets1.add(new LinkedHashSet<Integer>(Arrays.asList(4,8,2,3,5)));
System.out.println("Initially valid? "+
areIsomorphic(sets0, sets1, p));
boolean areIsomorphic = areIsomorphic(sets0, sets1);
System.out.println("Result: "+areIsomorphic);
}
private static <T> boolean areIsomorphic(
Set<Set<T>> sets0, Set<Set<T>> sets1)
{
System.out.println("sets0:");
for (Set<T> set0 : sets0)
{
System.out.println(" "+set0);
}
System.out.println("sets1:");
for (Set<T> set1 : sets1)
{
System.out.println(" "+set1);
}
Set<T> all0 = flatten(sets0);
Set<T> all1 = flatten(sets1);
System.out.println("All elements");
System.out.println(" "+all0);
System.out.println(" "+all1);
if (all0.size() != all1.size())
{
System.out.println("Different number of elements");
return false;
}
Map<T, Set<T>> domains = computeInitialDomains(sets0, sets1);
System.out.println("Domains initially:");
print(domains, "");
Map<T, T> assignment = new LinkedHashMap<T, T>();
return compute(assignment, domains, sets0, sets1, "");
}
private static <T> Map<T, Set<T>> computeInitialDomains(
Set<Set<T>> sets0, Set<Set<T>> sets1)
{
Set<T> all0 = flatten(sets0);
Set<T> all1 = flatten(sets1);
Map<T, Set<T>> domains = new LinkedHashMap<T, Set<T>>();
for (T e0 : all0)
{
Set<T> domain0 = new LinkedHashSet<T>();
for (T e1 : all1)
{
if (isFeasible(e0, sets0, e1, sets1))
{
domain0.add(e1);
}
}
domains.put(e0, domain0);
}
return domains;
}
private static <T> boolean isFeasible(
T e0, Set<Set<T>> sets0,
T e1, Set<Set<T>> sets1)
{
int c0 = countContaining(sets0, e0);
int c1 = countContaining(sets1, e1);
return c0 == c1;
}
private static <T> int countContaining(Set<Set<T>> sets, T value)
{
int count = 0;
for (Set<T> set : sets)
{
if (set.contains(value))
{
count++;
}
}
return count;
}
private static <T> boolean compute(
Map<T, T> assignment, Map<T, Set<T>> domains,
Set<Set<T>> sets0, Set<Set<T>> sets1, String indent)
{
if (!validCounts(domains.values()))
{
System.out.println(indent+"There are too many domains "
+ "with too few elements");
print(domains, indent);
return false;
}
if (assignment.keySet().equals(domains.keySet()))
{
System.out.println(indent+"Found assignment: "+assignment);
return true;
}
List<Entry<T, Set<T>>> entryList =
new ArrayList<Map.Entry<T,Set<T>>>(domains.entrySet());
Collections.sort(entryList, new Comparator<Map.Entry<T,Set<T>>>()
{
@Override
public int compare(Entry<T, Set<T>> e0, Entry<T, Set<T>> e1)
{
return Integer.compare(
e0.getValue().size(),
e1.getValue().size());
}
});
for (Entry<T, Set<T>> entry : entryList)
{
T key = entry.getKey();
if (assignment.containsKey(key))
{
continue;
}
Set<T> domain = entry.getValue();
for (T value : domain)
{
Map<T, Set<T>> newDomains = copy(domains);
removeFromOthers(newDomains, key, value);
assignment.put(key, value);
newDomains.get(key).clear();
newDomains.get(key).add(value);
System.out.println(indent+"Using "+assignment);
Set<Set<T>> setsContainingKey =
computeSetsContainingValue(sets0, key);
Set<Set<T>> setsContainingValue =
computeSetsContainingValue(sets1, value);
Set<T> keyElements = flatten(setsContainingKey);
Set<T> valueElements = flatten(setsContainingValue);
for (T otherKey : keyElements)
{
Set<T> otherValues = newDomains.get(otherKey);
otherValues.retainAll(valueElements);
}
System.out.println(indent+"Domains when "+assignment);
print(newDomains, indent);
boolean done = compute(assignment, newDomains,
sets0, sets1, indent+" ");
if (done)
{
return true;
}
assignment.remove(key);
}
}
return false;
}
private static boolean validCounts(
Collection<? extends Collection<?>> collections)
{
Map<Collection<?>, Integer> counts =
new LinkedHashMap<Collection<?>, Integer>();
for (Collection<?> c : collections)
{
Integer count = counts.get(c);
if (count == null)
{
count = 0;
}
counts.put(c, count+1);
}
for (Entry<Collection<?>, Integer> entry : counts.entrySet())
{
Collection<?> c = entry.getKey();
Integer count = entry.getValue();
if (count > c.size())
{
return false;
}
}
return true;
}
private static <K, V> Map<K, Set<V>> copy(Map<K, Set<V>> map)
{
Map<K, Set<V>> copy = new LinkedHashMap<K, Set<V>>();
for (Entry<K, Set<V>> entry : map.entrySet())
{
K k = entry.getKey();
Set<V> values = entry.getValue();
copy.put(k, new LinkedHashSet<V>(values));
}
return copy;
}
private static <T> Set<Set<T>> computeSetsContainingValue(
Iterable<? extends Set<T>> sets, T value)
{
Set<Set<T>> containing = new LinkedHashSet<Set<T>>();
for (Set<T> set : sets)
{
if (set.contains(value))
{
containing.add(set);
}
}
return containing;
}
private static <T> void removeFromOthers(
Map<T, Set<T>> map, T key, T value)
{
for (Entry<T, Set<T>> entry : map.entrySet())
{
if (!entry.getKey().equals(key))
{
Set<T> values = entry.getValue();
values.remove(value);
}
}
}
private static <T> Set<T> flatten(
Iterable<? extends Collection<? extends T>> collections)
{
Set<T> set = new LinkedHashSet<T>();
for (Collection<? extends T> c : collections)
{
set.addAll(c);
}
return set;
}
private static <T> Set<T> applyMapping(
Set<T> set, Map<T, T> map)
{
Set<T> result = new LinkedHashSet<T>();
for (T e : set)
{
result.add(map.get(e));
}
return result;
}
private static <T> boolean areIsomorphic(
Set<Set<T>> sets0, Set<Set<T>> sets1, Map<T, T> p)
{
for (Set<T> set0 : sets0)
{
Set<T> set1 = applyMapping(set0, p);
if (!sets1.contains(set1))
{
return false;
}
}
return true;
}
private static void print(Map<?, ?> map, String indent)
{
for (Entry<?, ?> entry : map.entrySet())
{
System.out.println(indent+entry.getKey()+": "+entry.getValue());
}
}
}