R - Участок, описываемый плоскостями с rgl

Я хочу построить многогранник, который описывается следующими неравенствами:

3*x+5*y+9*z<=500
4*x+5*z<=350
2*y+3*z<=150

x,y,z>=0

Это линейная программа. Целевая функция:

4*x+3*y+6*z

Многогранник является допустимой областью для этой программы. Я могу построить неравенства как плоскости, которые должны описывать многогранник (Обратите внимание, что это моя первая попытка с rgl, поэтому код немного грязный. Если вы хотите его улучшить, не стесняйтесь делать это):

# setup
x <- seq(0,9,length=20)*seq(0,9,length=20)
y <- x
t <- x


f1 <- function(x,y){y=70-0.8*x}
z1 <- outer(x,y,f1)

f2 <- function(x,y){500/9-x/3-(5*y)/9}
z2 <- outer(x,y,f2)

f3 <- function(x,y){t=50-(2*y)/3}
z3 <- outer(x,y,f3)

# plot planes with rgl
uM = matrix(c(0.72428817, 0.03278469, -0.68134511, 0,
              -0.6786808, 0.0555667, -0.7267077, 0,
              0.01567543, 0.99948466, 0.05903265, 0,
              0, 0, 0, 1),
            4, 4)
library(rgl)
open3d(userMatrix = uM, windowRect = c(0, 0, 400, 400))
rgl.pop("lights")
light3d(diffuse='white',theta=0,phi=20) 
light3d(diffuse="gray10", specular="gray25")
rgl.light(theta = 0, phi = 0, viewpoint.rel = TRUE, ambient = "#FFFFFF", 
           diffuse = "#FFFFFF", specular = "#FFFFFF", x=30, y=30, z=40)
rgl.light(theta = 0, phi = 0, viewpoint.rel = TRUE, ambient = "#FFFFFF", 
          diffuse = "#FFFFFF", specular = "#FFFFFF", x=0, y=0, z=0)
bg3d("white")
material3d(col="white")
persp3d(x,y,z3,  
        xlim=c(0,100), ylim=c(0,100), zlim=c(0,100),
        xlab='x', ylab='y', zlab='z', 
        col='lightblue',
        ltheta=100, shade=0, ticktype = "simple")
surface3d(x, y, z2, col='orange', alpha=1)
surface3d(t, y, z1, col='pink', alpha=1, smooth=TRUE)

Planes

Теперь я хочу построить область, которая описывается плоскостями с

x,y,z>=0.

Но я не знаю, как это сделать. Я попытался сделать это вот так:

x <- seq(0,9,length=20)*seq(0,9,length=20)
y <- x
z <- x

f4 <- function(x,y,t){
  cond1 <- 3*x+5*y+9*z<=500
  cond2 <- 4*x+5*z<=350
  cond3 <- 2*y+3*z<=150

  ifelse(cond1, 3*x+5*y+9*z,
         ifelse(cond2, 4*x+5*z,
                ifelse(cond3, 2*y+3*z,0)))
}

f4(x,y,z)
z4 <- outer(x,y,z,f4) # ERROR

Но это тот момент, когда я застрял. outer() определяется только для двух переменных, но у меня три. Как я могу перейти отсюда?

Ответы

Ответ 1

Вы можете вычислить вершины многогранника путем пересечения плоскостей 3 за раз (некоторые из пересечений находятся вне многогранника из-за других неравенств: вы также должны проверить их).

Как только у вас есть вершины, вы можете попытаться их соединить. Чтобы определить, какие находятся на границе, вы можете взять середину сегмента, и проверить, выполнено ли какое-либо неравенство как равенство.

# Write the inequalities as: planes %*% c(x,y,z,1) <= 0
planes <- matrix( c(
  3, 5, 9, -500,
  4, 0, 5, -350,
  0, 2, 3, -150,
  -1, 0, 0, 0,
  0, -1, 0, 0,
  0, 0, -1, 0
), nc = 4, byrow = TRUE )

# Compute the vertices
n <- nrow(planes)
vertices <- NULL
for( i in 1:n )
  for( j in 1:n)
    for( k in 1:n )
      if( i < j && j < k ) try( { 
        # Intersection of the planes i, j, k
        vertex <- solve(planes[c(i,j,k),-4], -planes[c(i,j,k),4] )
        # Check that it is indeed in the polyhedron
        if( all( planes %*% c(vertex,1) <= 1e-6 ) ) {
          print(vertex)
          vertices <- rbind( vertices, vertex )
        }
      } )

# For each pair of points, check if the segment is on the boundary, and draw it
library(rgl)
open3d()
m <- nrow(vertices)
for( i in 1:m )
  for( j in 1:m )
    if( i < j ) {
      # Middle of the segment
      p <- .5 * vertices[i,] + .5 * vertices[j,]
      # Check if it is at the intersection of two planes
      if( sum( abs( planes %*% c(p,1) ) < 1e-6 ) >= 2 )
        segments3d(vertices[c(i,j),])
    }

polyhedron wireframe