Ответ 1
У вас появилась возможность пройти Документацию по конфигурации сервера Neo4j? В нем говорится:
# разрешить любому клиенту подключиться
org.neo4j.server.webserver.address = 0.0.0.0
Эта строка в conf/neo4j-server.properties комментируется по умолчанию и ограничивает доступ к порту 7474 на localhost или 127.0.0.1 (что, вероятно, является причиной того, что все работает на вашем домене с использованием этого сервера и обращается к Neo4j через localhost). Раскомментируйте эту строку, и она должна сделать порт 7474 доступным для всех, т.е. 0.0.0.0.
Чтобы обеспечить безопасность вашего сервера Neo4j уровнем авторизации, вам может потребоваться ссылка Защита доступа к документации сервера Neo4j.