Ответ 1
Ваш коэффициент нормализации исходит из попытки применить теорему Парсеваля для преобразования Фурье непрерывного сигнала к дискретной последовательности. На боковой панели статьи в Википедии о дискретном преобразовании Фурье обсуждается связь преобразования Фурье, ряда Фурье, дискретного преобразования Фурье и выборки с гребни Дирака.
Короче говоря, теорема Парсева, применяемая к DFT, не требует интеграции, но суммирование: a 2*pi, которую вы создаете путем многократного на dt и df ваши суммы.
Заметьте также, что, поскольку вы используете scipy.fftpack.rfft, то, что вы получаете, не является надлежащим образом ДПФ ваших данных, но только положительная его половина, так как отрицание будет симметрично ему. Поэтому, поскольку вы добавляете только половину данных, плюс 0 в терминах DC, там отсутствует 2, чтобы добраться до 4*pi, найденного @unutbu.
В любом случае, если datay содержит вашу последовательность, вы можете проверить теорему Парсеваля следующим образом:
fouriery = fftpack.rfft(datay)
N = len(datay)
parseval_1 = np.sum(datay**2)
parseval_2 = (fouriery[0]**2 + 2 * np.sum(fouriery[1:]**2)) / N
print parseval_1 - parseval_2
Используя scipy.fftpack.fft или numpy.fft.fft, второе суммирование не нужно брать на себя странная форма:
fouriery_1 = fftpack.fft(datay)
fouriery_2 = np.fft.fft(datay)
N = len(datay)
parseval_1 = np.sum(datay**2)
parseval_2_1 = np.sum(np.abs(fouriery_1)**2) / N
parseval_2_2 = np.sum(np.abs(fouriery_2)**2) / N
print parseval_1 - parseval_2_1
print parseval_1 - parseval_2_2