Ограниченная оптимизация в R

Я пытаюсь использовать http://rss.acs.unt.edu/Rdoc/library/stats/html/constrOptim.html в R для оптимизации в R с некоторыми заданными линейными ограничениями, но не в состоянии понять, как для настройки проблемы.

Например, мне нужно максимизировать $f (x, y) = log (x) +\frac {x ^ 2} {y ^ 2} $при ограничениях $g_1 (x, y) = x + y < 1 $, $g_2 (x, y) = x > 0 $и $g_3 (x, y) = y > 0 $. Как это сделать в R? Это всего лишь гипотетический пример. Не беспокойтесь о его структуре, вместо этого мне интересно узнать, как установить это в R.

спасибо!

Ответы

Ответ 1

Настройка функции была тривиальной:

fr <- function(x) {      x1 <- x[1]
    x2 <- x[2]
    -(log(x1) + x1^2/x2^2)  # need negative since constrOptim is a minimization routine
}

Настройка матрицы ограничений была проблематичной из-за отсутствия большой документации, и я прибегал к экспериментам. На странице справки "Возможная область определяется ui% *% theta-ci >= 0". Так что я тестировал, и это казалось "работа":

> rbind(c(-1,-1),c(1,0), c(0,1) ) %*% c(0.99,0.001) -c(-1,0, 0)
      [,1]
[1,] 0.009
[2,] 0.990
[3,] 0.001

Поэтому я помещаю строку для каждого ограничения/границы:

constrOptim(c(0.99,0.001), fr, NULL, ui=rbind(c(-1,-1),  # the -x-y > -1
                                              c(1,0),    # the x > 0
                                              c(0,1) ),  # the y > 0
                                           ci=c(-1,0, 0)) # the thresholds

Для этой проблемы существует потенциальная трудность в том, что для всех значений x функция переходит в Inf при y → 0. Я получаю max вокруг x =.95 и y = 0, даже когда я нажимаю начальные значения в "угол", но я несколько подозрительно, что это не тот истинный максимум, который я бы предположил, был в "углу". РЕДАКТИРОВАТЬ: Следуя этому, я решил, что градиент может обеспечить дополнительное "направление" и добавить функцию градиента:

grr <- function(x) { ## Gradient of 'fr'
    x1 <- x[1]
    x2 <- x[2]
    c(-(1/x[1] + 2 * x[1]/x[2]^2),
       2 * x[1]^2 /x[2]^3 )
}

Это сделало "оптимизацию" немного ближе к углу c (.999..., 0) вместо того, чтобы отходить от него, как это было сделано для некоторых начальных значений. Я по-прежнему несколько разочарован тем, что процесс, похоже, "направляется к утесу", когда начальные значения близки к центру допустимой области:

 constrOptim(c(0.99,0.001), fr, grr, ui=rbind(c(-1,-1),  # the -x-y > -1
                                               c(1,0),    # the x > 0
                                               c(0,1) ),  # the y > 0
                                            ci=c(-1,0, 0) )
$par
[1]  9.900007e-01 -3.542673e-16

$value
[1] -7.80924e+30

$counts
function gradient 
    2001       37 

$convergence
[1] 11

$message
[1] "Objective function increased at outer iteration 2"

$outer.iterations
[1] 2

$barrier.value
[1] NaN

Примечание. Ханс Вернер Борчерс показал лучший пример в R-Help, которому удалось получить угловые значения, установив ограничение немного от края:

> constrOptim(c(0.25,0.25), fr, NULL, 
              ui=rbind( c(-1,-1), c(1,0),   c(0,1) ),  
              ci=c(-1, 0.0001, 0.0001)) 
$par
[1] 0.9999 0.0001