Факторизация Python

Я просто хотел бы узнать лучший способ перечисления всех целочисленных факторов числа, учитывая словарь его простых факторов и их экспонентов.
Например, если мы имеем {2: 3, 3: 2, 5: 1} (2 ^ 3 * 3 ^ 2 * 5 = 360)
Тогда я мог бы написать:

for i in range(4):
  for j in range(3):
    for k in range(1):
      print 2**i * 3**j * 5**k

Но здесь у меня есть 3 ужасных цикла. Можно ли абстрагировать это на функцию, заданную любой факторизацией в качестве аргумента объекта словаря?

Ответы

Ответ 1

Ну, не только у вас есть 3 цикла, но этот подход не будет работать, если у вас есть более 3 факторов:)

Один из возможных способов:

def genfactors(fdict):    
    factors = set([1])

    for factor, count in fdict.iteritems():
        for ignore in range(count):
            factors.update([n*factor for n in factors])
            # that line could also be:
            # factors.update(map(lambda e: e*factor, factors))

    return factors

factors = {2:3, 3:2, 5:1}

for factor in genfactors(factors):
    print factor

Кроме того, вы можете избежать дублирования некоторой работы во внутреннем цикле: если ваш рабочий набор равен (1,3) и хотите применить к факторам 2 ^ 3, мы делаем:

(1,3) U (1,3)*2 = (1,2,3,6)
(1,2,3,6) U (1,2,3,6)*2 = (1,2,3,4,6,12)
(1,2,3,4,6,12) U (1,2,3,4,6,12)*2 = (1,2,3,4,6,8,12,24)

Посмотрите, сколько дубликатов у нас есть во вторых наборах?

Но мы можем сделать вместо этого:

(1,3) + (1,3)*2 = (1,2,3,6)
(1,2,3,6) + ((1,3)*2)*2 = (1,2,3,4,6,12)
(1,2,3,4,6,12) + (((1,3)*2)*2)*2 = (1,2,3,4,6,8,12,24)

Решение выглядит даже приятнее без наборов:

def genfactors(fdict):
    factors = [1]

    for factor, count in fdict.iteritems():
        newfactors = factors
        for ignore in range(count):
            newfactors = map(lambda e: e*factor, newfactors)
            factors += newfactors

    return factors

Ответ 2

У меня blogged об этом, а самый быстрый чистый python (без itertools) происходит из сообщения Тима Петерса в список python и использует вложенные рекурсивные генераторы:

def divisors(factors) :
    """
    Generates all divisors, unordered, from the prime factorization.
    """
    ps = sorted(set(factors))
    omega = len(ps)

    def rec_gen(n = 0) :
        if n == omega :
            yield 1
        else :
            pows = [1]
            for j in xrange(factors.count(ps[n])) :
                pows += [pows[-1] * ps[n]]
            for q in rec_gen(n + 1) :
                for p in pows :
                    yield p * q

    for p in rec_gen() :
        yield p

Обратите внимание, что так, как он написан, он принимает список простых факторов, а не словарь, т.е. [2, 2, 2, 3, 3, 5] вместо {2 : 3, 3 : 2, 5 : 1}.

Ответ 3

Используя itertools.product из Python 2.6:

#!/usr/bin/env python
import itertools, operator

def all_factors(prime_dict):
    series = [[p**e for e in range(maxe+1)] for p, maxe in prime_dict.items()]
    for multipliers in itertools.product(*series):
        yield reduce(operator.mul, multipliers)

Пример:

print sorted(all_factors({2:3, 3:2, 5:1}))

Вывод:

[1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60,
 72, 90, 120, 180, 360]

Ответ 4

Да. Когда у вас есть алгоритм, для которого требуется n вложенных циклов, вы обычно можете превратить его в рекурсивную функцию:

def print_factors(d, product=1):
    if len(d) == 0:      # Base case: we've dealt with all prime factors, so
        print product    # Just print the product
        return
    d2 = dict(d)         # Copy the dict because we don't want to modify it
    k,v = d2.popitem()   # Pick any k**v pair from it
    for i in range(v+1): # For all possible powers i of k from 0 to v (inclusive)
                         # Multiply the product by k**i and recurse.
        print_factors(d2, product*k**i)

d = {2:3, 3:2, 5:1}
print_factors(d)

Ответ 5

В принципе, у вас есть набор, состоящий из каждого коэффициента целевого номера. В вашем примере набор будет {2 2 2 3 3 5}. Каждое строгое подмножество этого множества является факторизацией одного из делителей вашего числа, поэтому, если вы можете сгенерировать все подмножества этого набора, вы можете умножить элементы каждого подмножества вместе и получить все целые делители.

Код должен быть довольно очевидным: создать список, содержащий факторизацию, сгенерировать все подмножества этого списка (бонусные баллы за использование генератора, я думаю, что там есть соответствующая функция в стандартной библиотеке). Затем умножьте и идите оттуда. Не оптимально эффективно, но приятно выглядеть.