Закрытие и универсальная количественная оценка

Я пытался выяснить, как реализовать типы данных, закодированные Церковью, в Scala. Кажется, что для него требуются типы rank-n, так как вам понадобится первоклассная функция const типа forAll a. a -> (forAll b. b -> b).

Однако я смог кодировать пары:

import scalaz._

trait Compose[F[_],G[_]] { type Apply = F[G[A]] }

trait Closure[F[_],G[_]] { def apply[B](f: F[B]): G[B] }

def pair[A,B](a: A, b: B) =
  new Closure[Compose[({type f[x] = A => x})#f,
                      ({type f[x] = B => x})#f]#Apply, Id] {
    def apply[C](f: A => B => C) = f(a)(b)
  }

Для списков я смог кодировать cons:

def cons[A](x: A) = {
  type T[B] = B => (A => B => B) => B
  new Closure[T,T] {
    def apply[B](xs: T[B]) = (b: B) => (f: A => B => B) => f(x)(xs(b)(f))
  }
}

Однако пустой список более проблематичен, и я не смог заставить компилятор Scala унифицировать типы.

Можете ли вы определить nil, чтобы, учитывая вышеприведенное определение, следующие компиляции?

cons(1)(cons(2)(cons(3)(nil)))

Ответы

Ответ 1

Спасибо Марку Харре за выполнение этого решения. Фокус в том, что Function1 в стандартных библиотеках не определен достаточно общим образом.

Моя черта "Закрытие" в вопросе на самом деле является естественным преобразованием между функторами. Это обобщение понятия "функция".

trait ~>[F[_],G[_]] { def apply[B](f: F[B]): G[B] }

Функция a -> b тогда должна быть специализацией этого признака, естественным преобразованием между двумя эндофункторами в категории типов Scala.

trait Const[A] { type Apply[B] = A }
type ->:[A,B] = Const[A]#Apply ~>: Const[B]#Apply

Const[A] - функтор, который отображает каждый тип в A.

И вот наш тип списка:

type CList[A] = ({type f[x] = Fold[A,x]})#f ~> Endo

Здесь Endo является просто псевдонимом для типа функций, которые отображают тип на себя (endofunction).

type Endo[A] = A ->: A

И Fold - это тип функций, которые могут складывать список:

type Fold[A,B] = A ->: Endo[B]

И наконец, вот наши конструкторы списка:

def cons[A](x: A) = {
  new (CList[A] ->: CList[A]) {
    def apply[C](xs: CList[A]) = new CList[A] {
      def apply[B](f: Fold[A,B]) = (b: B) => f(x)(xs(f)(b))
    }
  }
}

def nil[A] = new CList[A] {
  def apply[B](f: Fold[A,B]) = (b: B) => b
}

Одно из предостережений - необходимость прямого преобразования (A → : B) в (A = > B), чтобы помочь системе типа Scala. Так что это все еще ужасно многословно и утомительно, чтобы фактически свернуть список, когда-то созданный. Здесь эквивалент Haskell для сравнения:

nil p z = z
cons x xs p z = p x (xs p z)

Конструкция списков и сворачивание в версии Haskell является кратким и бесшумным:

let xs = cons 1 (cons 2 (cons 3 nil)) in xs (+) 0