Анализ сложности времени кода

Ответ 1

Пусть

L3= log на базу 3 L2= Войдите в базу 2

Тогда правильный ответ O (L3 (L2 (n)) и NOT O (L2 (L2 (n)).

Начните с x = x * 2. x будет экспоненциально возрастать до тех пор, пока не достигнет n, тем самым создав временную сложность O (L2 (n))

Теперь рассмотрим x = x * x. x увеличивается быстрее, чем указано выше. На каждой итерации значение x переходит в квадрат его предыдущего значения. Выполняя некоторую простую математику, вот что мы получаем:

При x = 2 n = 4, итерации приняты = 1 n = 16, итерации приняты = 2 n = 256, итерации приняты = 3 n = 65536, итерации приняты = 4

Таким образом, временная сложность O (L2 (L2 (n)). Вы можете проверить это, поставив значения выше значений для n.

Теперь приступим к вашей проблеме, x = x * x * x. Это будет увеличиваться даже быстрее, чем x = x * x. Вот таблица:

При x = 2 n = 8, итерации приняты = 1 n = 512, итерации приняты = 2 n = (512 * 512 * 512), итерации приняты = 3 и т.д.

Если вы посмотрите на это внимательно, это окажется O (L3 (L2 (n)). L2 (n) даст вам силу в два, но поскольку вы принимаете куб x на каждой итерации, вам нужно будет записать журнал на базу 3, чтобы узнать правильное количество итераций.

Итак, я считаю, что правильный ответ O (log-to-base-3 (log-to-base-2 (n))

Обобщая это, если x = x * x * x * x *.. (k раз), тогда временная сложность O (log-to-base-k (log -в-база-2 (п)

Ответ 2

думают об этом как о рекурсивной функции:

f(i) = f(i-1)^3

если вы его развернете:

f(i) = ((f(i-k)^3)^3)[...k times] = f(i-k)^(3^k) = f(0)^(3^i)

функция растет как мощность мощности... так что время (итерации) для достижения определенного числа (т.е. вычисление обратной функции) является логарифмом логарифма.

Как и в вашем примере f(0) = 2, мы хотим знать, когда f(i) >= n является n входным параметром (и i числом итераций):

f(i) = 2^(3^i) >= n
           3^i >= log_2(n)
             i >= log_3(log_2(n))

Итак, чтобы достичь значения n, it takes log_3(log_2(n)) итераций (округлить, имея дело с целыми числами, чтобы превзойти его).

если бы функция была:

f(i) = 2*f(i-1) //e.g. x=2*x

тогда шаблон будет выглядеть следующим образом:

f(i) = 2*2*[...k times]*f(i-k) = f(i-k)*(2^k) = f(0)*(2^i)

И в этом случае обратная функция будет единственным логарифмом в базе 2.

Моя математика не очень строгая, но я надеюсь, что вы поймете эту идею.

Ответ 3

Подумайте о том, как x изменяется с количеством итераций через цикл. Каждый раз вы его кубируете. Таким образом, после я итераций значение будет 2 кубика, снова куба... и так далее, я раз. Позвольте использовать x (i) для обозначения этого выражения. Пусть говорят, что x (0) = 2, x (1) = 2 3 и т.д. (Я использую b для обозначения поднятой до b-й степени).

Мы закончили, когда x (i) >= n. Сколько времени это занимает? Пусть для i.

First, we take a log on both sides: ln(x(i))>=ln(n)

ln(x(i)) = ln(x(i-1))*3 = ln(x(i-2))*(3**2) = ... = ln(x(0))*(3**i)

(the above uses [this property][1]: ln(x**b)==ln(x)*b)

so, 3**i * 2 >=ln(n). Let take another logarithm:

ln(3**i * 2) = ln(2) + ln(3)*i 

so ln(2) + ln(3)* i >= ln(ln(n))

Now we can solve for i: i >= ( ln(ln(n))-ln(2) ) / ln(3)

Мы можем игнорировать постоянные факторы, и мы оставляем за собой заключение о том, что мы выполним шаги log (log (n)). Это сложность вашего алгоритма.

Надеемся, что все шаги, подобные этому, помогут.

Ответ 4

Если код внутри цикла while был

x = 2*x;

x достигнет n в O (log (n)) итерациях. Поскольку вы кубируете x вместо того, чтобы просто умножать его на константу, вы достигнете n быстрее.

Ответ 5

Учитывая

log ( A * x )     == log ( A ) + log ( x )
log ( x * x * x ) == 3 * log ( x )

Итак,

log ( log ( x * x * x ) ) == log ( 3 * log ( x ) )
                          == log ( 3 ) + log ( log ( x ) )

Насколько быстрее или медленнее (измеряется числом итераций цикла) эта функция будет больше, чем ваша функция?

int log_foo ( int n ) 
{
    double          log_x = log ( 2 );
    const double    log_n = log ( n );

    while ( log_x < log_n )
    {
        log_x = 3 * log_x;
    }

    return exp ( log_x );
}

И насколько быстрее или медленнее будет эта функция, чем ваша функция?

int log_log_foo ( int n ) 
{
    double          log_log_x = log ( log ( 2 ) );
    const double    log_log_n = log ( log ( n ) );
    const double    log_3     = log ( 3 );

    while ( log_log_x < log_log_n )
    {
        log_log_x += log_3;
    }

    return exp ( exp ( log_log_x ) );
}

Но эта функция только увеличивает log_log_x на константу, поэтому легко определить, сколько итераций она делает.

Ответ 6

Пусть i - количество шагов итерации и x(i) значение x после шагов i. Мы имеем

x(0) = 2
x(i) = x(i-1)³

Общее количество шагов - это самый большой i, поэтому x(i) < n.

Мы имеем

log x(i) = log x(i-1)³
         = 3·log x(i-1)
         = 3·log x(i-2)³
         = 3²·log x(i-2)
         = 3^i·log x(0)
         = 3^i·log 2

⇒  log log x(i) = log (3^i·log 2)
                 = log 3^i + log log 2
                 = i·log 3 + log log 2

Логарифм строго возрастает, поэтому

x(i) < n ⇔        log log x(i) < log log n
         ⇔ i·log 3 + log log 2 < log log n
         ⇔                   i < (log log n - log log 2) / log 3 ∈ O(log log n)

Ответ 7

Почему бы не добавить переменную счетчика, чтобы подсчитать количество итераций цикла. Распечатайте его перед тем, как функция вернется.

Затем вызовите функцию для диапазона значений, например. От 3 до 1 000 000. Затем нарисуйте свой результат, используя GNUPlot.

Затем посмотрите, соответствует ли граф известной кривой.