Представим натуральное число как сумму различных квадратов

Ответ 1

Существует алгоритм O(n^1.5) -time, основанный на канонической динамической программе для суммы подмножества. Здесь повторяемость:

C(m, k) is the size of the largest subset of 1..k whose squares sum to m
C(m, k), m < 0 = -infinity (infeasible)
C(0, k) = 0
C(m, 0), m > 0 = -infinity (infeasible)
C(m, k), m > 0, k > 0 = max(C(m, k-1), C(m - k^2, k-1) + 1)

Вычислить C(m, k) для всех m в 0..n и всех k в 0..floor(n^0.5). Верните C(n, floor(n^0.5)) для объектного значения. Чтобы восстановить набор, отсканируйте аргументы argmaxes.

Ответ 2

Мне просто интересно, уменьшилась ли эта проблема до NP? Похоже, у вас есть список целых чисел (квадратов) меньше n (может быть сгенерирован в O(sqrt(n))), и вы ищете сумму подмножества размером от 1 to sqrt(n) (проверьте все возможности). Если это так, то это должно быть разрешено с помощью алгоритма динамического программирования ранца (но это довольно наивный алгоритм, и я думаю, что его можно было бы улучшить) в O(n^2) - sqrt (n) проблем, чтобы проверять время sqrt (n) числа ранца count count n knapsack вес.

EDIT: Я думаю, что с помощью интеллектуального backtracking после заполнения массива динамического программирования вы можете сделать это в O(n*sqrt(n)).

Ответ 3

Вы можете использовать повторение:

T(0, m) = 0
T(n, m) = -Infinity (if n<0 or m<0)
T(n, m) = max(T(n-m*m, m-1)+1, T(n, m-1))

Или, в коде Python:

from functools import lru_cache

@lru_cache(100000)
def T(n, m):
    if n<0 or m<0: return (-1000000, 0)
    if n==0: return (0, 0)
    return max((T(n-m*m, m-1)[0]+1, m), T(n, m-1)) 

def squares(n):
    s = int(n**0.5)
    while n>0 and s>0:
        _, factor = T(n, s)
        yield factor**2
        n -= factor**2
        s = factor-1

for x in (4, 20, 38, 300):
    result = list(squares(x))
    print(sum(result), '= sum', result) 

Пример, который вы дали (300), можно записать с 8 факторами:

300 = 11² + 8² + 7² + 6² + 4² + 3² + 2² + 1²

Другие результаты:

4 = sum [4]
20 = sum [16, 4]
38 = sum [25, 9, 4]
300 = sum [121, 64, 49, 36, 16, 9, 4, 1]