Как найти глобальный минимум в оптимизации python с ограничениями?

Ответ 1

Это можно сделать с помощью scipy.optimize.basinhopping. Basinhopping - это функция, предназначенная для определения глобального минимума целевой функции. Он выполняет повторные минимизации с помощью функции scipy.optimize.minimize и выполняет случайный шаг в пространстве координат после каждой минимизации. Basinhopping все еще может уважать границы, используя один из минимизаторов, которые реализуют границы (например, L-BFGS-B). Вот какой код, который показывает, как это сделать

# an example function with multiple minima
def f(x): return x.dot(x) + sin(np.linalg.norm(x) * np.pi)

# the starting point
x0 = [10., 10.]

# the bounds
xmin = [1., 1.]
xmax = [11., 11.]

# rewrite the bounds in the way required by L-BFGS-B
bounds = [(low, high) for low, high in zip(xmin, xmax)]

# use method L-BFGS-B because the problem is smooth and bounded
minimizer_kwargs = dict(method="L-BFGS-B", bounds=bounds)
res = basinhopping(f, x0, minimizer_kwargs=minimizer_kwargs)
print res

Вышеприведенный код будет работать в простейшем случае, но вы все равно можете оказаться в запрещенном регионе, если вам понадобится процедура случайного перемещения базы данных. К счастью, это можно переопределить путем передачи пользовательского шага с использованием ключевого слова take_step

class RandomDisplacementBounds(object):
    """random displacement with bounds"""
    def __init__(self, xmin, xmax, stepsize=0.5):
        self.xmin = xmin
        self.xmax = xmax
        self.stepsize = stepsize

    def __call__(self, x):
        """take a random step but ensure the new position is within the bounds"""
        while True:
            # this could be done in a much more clever way, but it will work for example purposes
            xnew = x + np.random.uniform(-self.stepsize, self.stepsize, np.shape(x))
            if np.all(xnew < self.xmax) and np.all(xnew > self.xmin):
                break
        return xnew

# define the new step taking routine and pass it to basinhopping
take_step = RandomDisplacementBounds(xmin, xmax)
result = basinhopping(f, x0, niter=100, minimizer_kwargs=minimizer_kwargs,
                      take_step=take_step)
print result

Ответ 2

Некоторые предложения здравого смысла для отладки и визуализации любого оптимизатора по вашей функции:

Являются ли ваши целевые функции и ваши ограничения разумными?
Если целевой функцией является сумма, скажем f() + g(), напечатайте их отдельно для всех x в "fx-opt.nptxt" (см. ниже); если f() составляет 99% от суммы и g() 1%, исследуйте.

Ограничения: сколько компонентов x_i в xfinal застревает в границах, x_i <= lo_i или >= hi_i?

title = "%s  n %d  ntermhess %d  nsample %d  seed %d" % (  # all params!
    __file__, n, ntermhess, nsample, seed )
print title
...
np.random.seed(seed)  # for reproducible runs
np.set_printoptions( threshold=100, edgeitems=10, linewidth=100,
        formatter = dict( float = lambda x: "%.3g" % x ))  # float arrays %.3g

lo, hi = bounds.T  # vecs of numbers or +- np.inf
print "lo:", lo
print "hi:", hi

fx = []  # accumulate all the final f, x
for jsample in range(nsample):
        # x0 uniformly random in box lo .. hi --
    x0 = lo + np.random.uniform( size=n ) * (hi - lo)

    x, f, d = fmin_l_bfgs_b( func, x0, approx_grad=1,
                m=ntermhess, factr=factr, pgtol=pgtol )
    print "f: %g  x: %s  x0: %s" % (f, x, x0)
    fx.append( np.r_[ f, x ])

fx = np.array(fx)  # nsample rows, 1 + dim cols
np.savetxt( "fx-opt.nptxt", fx, fmt="%8.3g", header=title )  # to analyze / plot

ffinal = fx[:,0]
xfinal = fx[:,1:]
print "final f values, sorted:", np.sort(ffinal)
jbest = ffinal.argmin()
print "best x:", xfinal[jbest]

Если некоторые из значений ffinal выглядят достаточно хорошо, попробуйте более случайные стартовые точки рядом с ними - что, безусловно, лучше, чем чисто случайное.

Если x - кривые или что-то реальное, нарисуйте лучшие несколько x0 и xfinal.
(Эмпирическое правило имеет размер nsample ~ 5 * d или 10 * d в d. Слишком медленно, слишком много? Уменьшите maxiter/maxeval, уменьшите ftol - вам не нужно ftol 1e-6 для исследования, подобного этому.)

Если вы хотите воспроизводимые результаты, то вы должны перечислить ВСЕ соответствующие параметры в title и в производных файлах и графиках. В противном случае вы спросите "откуда это взялось?"

from scipy.optimize import approx_fprime
for eps in [1e-3, 1e-6]:
    grad = approx_fprime( x, func, epsilon=eps )
    print "approx_fprime eps %g: %s" % (eps, grad)

Если, однако, оценка градиента плохая/неустойчивая перед выключением оптимизатора, вы этого не увидите. Затем вам нужно сохранить все промежуточные [f, x, approx_fprime] смотреть их тоже; легко в python - спросите, не ясно ли это.

В некоторых проблемных областях обычно используется резервное копирование и перезапуск из предполагаемого xmin. Например, если вы потерялись на проселочной дороге, сначала найдите главную дорогу, затем перезапустите оттуда.

x, f, d = fmin_l_bfgs_b( func, x0, approx_grad=1,
            m=ntermhess, factr=factr, pgtol=pgtol, epsilon=eps )
            # give values for these -- explicit is better than implicit
versions: numpy 1.8.0  scipy 0.13.2   python 2.7.6   mac 10.8.3

Ответ 3

Большое спасибо вашему подробному ответу, но поскольку я довольно новичок в python, я не знал, как реализовать код для моей программы, но вот моя попытка оптимизации:

x0=np.array((10, 13, f*2.5, 0.08,    10, f*1.5,  0.06, 20, 
             10, 14, f*2.5, 0.08,    10, f*1.75, 0.07, 20,
             10, 15, f*2.5, 0.08,    10, f*2,    0.08, 20,
             10, 16, f*2.5, 0.08,    10, f*2.25, 0.09, 20,
             10, 17, f*2.5, -0.08,    10, f*2.5, -0.06, 20,
             10, 18, f*2.5, -0.08,    10, f*2.75,-0.07, 20,
             10, 19, f*2.5, -0.08,    10, f*3,   -0.08, 20,
             10, 20, f*2.5, -0.08,    10, f*3.25,-0.09, 20))

# boundary for each variable, each element in this restricts the corresponding element     above
bnds=((1,12), (1,35), (0,f*6.75), (-0.1, 0.1),(1,35), (0,f*6.75), (-0.1, 0.1),(13, 35), 
  (1,12), (1,35), (0,f*6.75), (-0.1, 0.1),(1,35), (0,f*6.75), (-0.1, 0.1),(13, 35), 
  (1,12), (1,35), (0,f*6.75), (-0.1, 0.1),(1,35), (0,f*6.75), (-0.1, 0.1),(13, 35), 
  (1,12), (1,35), (0,f*6.75), (-0.1, 0.1),(1,35), (0,f*6.75), (-0.1, 0.1),(13, 35), 
  (1,12), (1,35), (0,f*6.75), (-0.1, 0.1),(1,35), (0,f*6.75), (-0.1, 0.1),(13, 35), 
  (1,12), (1,35), (0,f*6.75), (-0.1, 0.1),(1,35), (0,f*6.75), (-0.1, 0.1),(13, 35), 
  (1,12), (1,35), (0,f*6.75), (-0.1, 0.1),(1,35), (0,f*6.75), (-0.1, 0.1),(13, 35), 
  (1,12), (1,35), (0,f*6.75), (-0.1, 0.1),(1,35), (0,f*6.75), (-0.1, 0.1),(13, 35), )

from scipy.optimize import basinhopping
from scipy.optimize import minimize

merit=a*meritoflength + b*meritofROC + c*meritofproximity +d*(distancetoceiling+distancetofloor)+e*heightorder
minimizer_kwargs = {"method": "L-BFGS-B", "bounds": bnds, "tol":1e0}
ret = basinhopping(merit_function, x0, minimizer_kwargs=minimizer_kwargs, niter=10, T=0.01)

zoom = ret['x']
res = minimize(merit_function, zoom, method = 'L-BFGS-B', bounds=bnds, tol=1e-5)
print res

функция достоинства объединяет x0 с некоторыми другими значениями для формирования 6 контрольных точек для 8 кривых, затем вычисляет их длины, радиусы кривизны и т.д. Она возвращает окончательное достоинство в виде линейных комбинаций этих параметров с некоторыми весами.

i использовал basinhopping с низкими значениями, чтобы найти некоторые минимумы, а затем использовал minimize для повышения точности наименьшего munimum.

p.s. платформа, на которой я запущена, - это Enthoght canopy 1.3.0, numpy 1.8.0 scipy 0.13.2 mac 10.8.3