Какой пол избыточен в полу (sqrt (floor (x)))?

Ответ 1

Очевидно, что внешний пол не является избыточным, поскольку, например, sqrt(2) не является целым числом и, следовательно, floor(sqrt(2))≠sqrt(2).

Легко также видеть, что sqrt(floor(x))≠sqrt(x) для нецелого x. Так как sqrt является монотонной функцией.

Нам нужно выяснить, есть ли floor(sqrt(floor(x)))==floor(sqrt(x)) для всех рациональных (или вещественных).

Докажем, что если sqrt(n)<m, то sqrt(n+1)<m+1, для целых чисел m,n. Легко видеть, что

n<m^2 ⇒ n+1 < m^2+1 < m^2+2m+1 = (m+1)^2

Поэтому из-за того, что sqrt является montone, мы имеем, что

sqrt(n) < m -> sqrt(n+1) < m+1 -> sqrt(n+eps)<m+1 for 0<=eps<1

Для этого floor(sqrt(n))=floor(sqrt(n+eps)) для всех 0<eps<1 и целых n. Предположим, что floor(sqrt(n))=m и floor(sqrt(n+eps))=m+1, и у вас есть случай, когда sqrt(n)<m+1 однако sqrt(n+eps)>=m+1.

Итак, если предположить, что внешний floor необходим, внутренний floor является избыточным.

В противном случае всегда верно, что

floor(sqrt(n)) == floor(sqrt(floor(n)))

Как насчет внутреннего ceil?

Нетрудно видеть, что floor(sqrt(n)) ≠ floor(sqrt(ceil(n))). Например

floor(sqrt(0.001))=0, while floor(sqrt(1))=1

Однако вы можете доказать аналогичным образом, что

ceil(sqrt(n)) == ceil(sqrt(ceil(n)))

Ответ 2

Внутренний избыточен, внешний - конечно.

Внешний не является избыточным, потому что квадратный корень из числа x приводит только к целому числу, если x - квадратное число.

Внутренний избыточен, поскольку квадратный корень для любого числа в интервале [x, x + 1 [(где x - целое число) всегда лежит внутри интервала [floor (sqrt (x)), ceil (sqrt (x)) [и, следовательно, вам не нужно заполнять число, прежде чем принимать квадратный корень из него, если вас интересует только целая часть результата.

Ответ 3

Интуитивно я считаю, что внутренняя избыточна, но я не могу это доказать.

Вам не разрешено проголосовать за меня, если вы не можете предоставить значение x, которое доказывает мне, что я ошибаюсь. 8 -)

Изменить: См. комментарий v3 к этому ответу для доказательства - спасибо, v3!

Ответ 4

Внутренний пол избыточен

Ответ 5

Внутренний пол избыточен. Доказательство от противного:

Предположим, что внутренний пол не является избыточным. Это означает, что:

floor(sqrt(x)) != floor(sqrt(x+d))

для некоторых x и d, где floor (x) = floor (x + d). Тогда у нас есть три числа: a = sqrt (x), b = пол (sqrt (x + d)), c = sqrt (x + d). b представляет собой целое число, а a < b < с. Это означает, что a ^ 2 < b ^ 2 < c ^ 2 или x < b ^ 2 < х + д. Но если b - целое число, то b ^ 2 является целым числом. Следовательно, пол (x) b ^ 2 и b ^ 2 <= пол (x + d), а затем пол (x) этаж (х + д). Но мы начали с предположения, что floor (x) = floor (x + d). Мы достигли противоречия, поэтому наше предположение неверно, а внутренний пол является избыточным.

Ответ 6

Если x является целым числом, то внутренний пол является избыточным.

Если x не является целым числом, то они не являются избыточными.

Ответ 7

Внешний пол не является избыточным. Контрпример: x = 2.

floor (sqrt (floor (2))) = floor (sqrt (2)) = floor (1.41...)

Без внешнего пола результат будет 1.41...

Ответ 8

Если внутренний пол не был избыточным, тогда мы ожидаем, что пол (sqrt (n))!= floor (sqrt (m)), где m = floor (n)

отметим, что n - 1 < m <= n. m всегда меньше или равно n

floor (sqrt (n))!= floor (sqrt (m)) требует, чтобы значения sqrt (n) и sqrt (m) отличались не менее чем на 1,0

однако нет значений n, для которых sqrt (n) отличается по меньшей мере от 1,0 от sqrt (n + 1), так как для всех значений от 0 до 1 sqrt этого значения равен < 1 по определению.

таким образом, для всех значений n пол (sqrt (n)) == floor (sqrt (n + 1)). Это противоречит первоначальному предположению.

Таким образом, внутренний пол является избыточным.

Ответ 9

Если n^2 <= x < (n+1)^2 где n - целое число, то

1. n <= sqrt(x) < n+1, поэтому floor(sqrt(x)) = n;
2. n^2 <= floor(x) < (n+1)^2, поэтому n <= sqrt(floor(x)) < n+1, поэтому floor(sqrt(floor(x))) = n.

Следовательно, floor(sqrt(floor(x))) = floor(sqrt(x)), что означает, что внутренний этаж является избыточным.