Ответ 1
Время выполнения JavaScript в React Native имеет доступ к дате, как и в любой другой среде. Таким образом, просто:
new Date()
... даст вам текущую дату. Здесь MDN о работе с датами в JS.
Если вы хотите, чтобы хорошая библиотека JS упрощала работу с датами, просмотрите MomentJS.