Ответ 1
Box и Cox (1964) предложили семейство преобразований, призванных уменьшить не норму ошибок в линейной модели. В результате получается, что при этом он часто также снижает нелинейность.
Вот хорошее резюме оригинальной работы и всей работы, которая была сделана с тех пор: http://www.ime.usp.br/~abe/lista/pdfm9cJKUmFZp.pdf
Однако вы заметите, что функция логарифмического правдоподобия, определяющая выбор силового преобразования лямбда, зависит от остаточной суммы квадратов базовой модели (нет LaTeX на SO - см. ссылку), поэтому никакое преобразование может применяться без модели.
Типичное приложение выглядит следующим образом:
library(MASS)
# generate some data
set.seed(1)
n <- 100
x <- runif(n, 1, 5)
y <- x^3 + rnorm(n)
# run a linear model
m <- lm(y ~ x)
# run the box-cox transformation
bc <- boxcox(y ~ x)
(lambda <- bc$x[which.max(bc$y)])
[1] 0.4242424
powerTransform <- function(y, lambda1, lambda2 = NULL, method = "boxcox") {
boxcoxTrans <- function(x, lam1, lam2 = NULL) {
# if we set lambda2 to zero, it becomes the one parameter transformation
lam2 <- ifelse(is.null(lam2), 0, lam2)
if (lam1 == 0L) {
log(y + lam2)
} else {
(((y + lam2)^lam1) - 1) / lam1
}
}
switch(method
, boxcox = boxcoxTrans(y, lambda1, lambda2)
, tukey = y^lambda1
)
}
# re-run with transformation
mnew <- lm(powerTransform(y, lambda) ~ x)
# QQ-plot
op <- par(pty = "s", mfrow = c(1, 2))
qqnorm(m$residuals); qqline(m$residuals)
qqnorm(mnew$residuals); qqline(mnew$residuals)
par(op)
Как вы можете видеть, это не волшебная пуля - только некоторые данные могут быть эффективно преобразованы (обычно лямбда меньше -2 или больше 2 - это знак, который вы не должны использовать метод). Как и любой статистический метод, используйте с осторожностью перед реализацией.
Чтобы использовать два параметра Box-Cox, используйте пакет geoR, чтобы найти lambdas:
library("geoR")
bc2 <- boxcoxfit(x, y, lambda2 = TRUE)
lambda1 <- bc2$lambda[1]
lambda2 <- bc2$lambda[2]
РЕДАКТИРОВКА: Уплотнение реализации Туки и Box-Cox, как указано в @Yui-Shiuan, исправлено.