Ответ 1
Используйте сплайны. Соответствующая часть функции показана на рисунке ниже. Он изменяется примерно как 5-й корень, поэтому проблемная зона близка к p / p0 = 0. Существует математическая теория о том, как оптимально разместить узлы сплайнов, чтобы свести к минимуму ошибку (см. Carl de Boor: Практическое руководство по сплайнам). Обычно одна конструкция сплайна в форме В заранее (с помощью наборов инструментов, таких как набор инструментов сплайна Matlab, также написанный C. de Boor), затем преобразуется в кусочно-полиномиальное представление для быстрой оценки.
В C. de Boor, PGS, функция g(x) = sqrt(x + 1) фактически взята в качестве примера (глава 12, пример II). Это именно то, что вам нужно здесь. Книга возвращается к этому случаю несколько раз, так как это, по общему признанию, трудная проблема для любой интерполяционной схемы из-за бесконечных производных в x = -1. Все программное обеспечение от PGS доступно бесплатно как PPPACK в netlib, и большая часть его также является частью SLATEC (также из netlib).
Изменить (удалено)
(Умножение на x некорректно помогает, поскольку оно только упорядочивает первую производную, а все остальные производные в x = 0 все еще бесконечны.)
Изменить 2
Я чувствую, что оптимально сконструированные сплайны (после де Бура) будут лучше (и быстрее) для относительно низких требований к точности. Если требования к точности высоки (например, 1е-8), можно заставить вернуться к алгоритмам, которые математики изучали на протяжении веков. На этом этапе лучше всего просто загрузить источники glibc и скопировать (если GPL является приемлемым), что находится в
glibc-2.19/sysdeps/ieee754/dbl-64/e_pow.c
Поскольку нам не нужно включать в себя все math.h, проблема с памятью не должна быть проблемой, но мы будем иметь лишь незначительную прибыль от наличия фиксированного показателя.
Изменить 3
Вот адаптированная версия e_pow.c из netlib, как найдено @Joni. Это, кажется, дед более современной реализации, упомянутой выше. Старая версия имеет два преимущества: (1) Это общедоступный домен и (2) он использует ограниченное число констант, что полезно, если память является ограниченным ресурсом (glibc версия определяет более 10000 строк констант!). Ниже приведен полностью автономный код, который вычисляет x^0.19029 для 0 <= x <= 1 для двойной точности (я тестировал его на функцию мощности Python и обнаружил, что не более двух бит отличается):
#define __LITTLE_ENDIAN
#ifdef __LITTLE_ENDIAN
#define __HI(x) *(1+(int*)&x)
#define __LO(x) *(int*)&x
#else
#define __HI(x) *(int*)&x
#define __LO(x) *(1+(int*)&x)
#endif
static const double
bp[] = {1.0, 1.5,},
dp_h[] = { 0.0, 5.84962487220764160156e-01,}, /* 0x3FE2B803, 0x40000000 */
dp_l[] = { 0.0, 1.35003920212974897128e-08,}, /* 0x3E4CFDEB, 0x43CFD006 */
zero = 0.0,
one = 1.0,
two = 2.0,
two53 = 9007199254740992.0, /* 0x43400000, 0x00000000 */
/* poly coefs for (3/2)*(log(x)-2s-2/3*s**3 */
L1 = 5.99999999999994648725e-01, /* 0x3FE33333, 0x33333303 */
L2 = 4.28571428578550184252e-01, /* 0x3FDB6DB6, 0xDB6FABFF */
L3 = 3.33333329818377432918e-01, /* 0x3FD55555, 0x518F264D */
L4 = 2.72728123808534006489e-01, /* 0x3FD17460, 0xA91D4101 */
L5 = 2.30660745775561754067e-01, /* 0x3FCD864A, 0x93C9DB65 */
L6 = 2.06975017800338417784e-01, /* 0x3FCA7E28, 0x4A454EEF */
P1 = 1.66666666666666019037e-01, /* 0x3FC55555, 0x5555553E */
P2 = -2.77777777770155933842e-03, /* 0xBF66C16C, 0x16BEBD93 */
P3 = 6.61375632143793436117e-05, /* 0x3F11566A, 0xAF25DE2C */
P4 = -1.65339022054652515390e-06, /* 0xBEBBBD41, 0xC5D26BF1 */
P5 = 4.13813679705723846039e-08, /* 0x3E663769, 0x72BEA4D0 */
lg2 = 6.93147180559945286227e-01, /* 0x3FE62E42, 0xFEFA39EF */
lg2_h = 6.93147182464599609375e-01, /* 0x3FE62E43, 0x00000000 */
lg2_l = -1.90465429995776804525e-09, /* 0xBE205C61, 0x0CA86C39 */
ovt = 8.0085662595372944372e-0017, /* -(1024-log2(ovfl+.5ulp)) */
cp = 9.61796693925975554329e-01, /* 0x3FEEC709, 0xDC3A03FD =2/(3ln2) */
cp_h = 9.61796700954437255859e-01, /* 0x3FEEC709, 0xE0000000 =(float)cp */
cp_l = -7.02846165095275826516e-09, /* 0xBE3E2FE0, 0x145B01F5 =tail of cp_h*/
ivln2 = 1.44269504088896338700e+00, /* 0x3FF71547, 0x652B82FE =1/ln2 */
ivln2_h = 1.44269502162933349609e+00, /* 0x3FF71547, 0x60000000 =24b 1/ln2*/
ivln2_l = 1.92596299112661746887e-08; /* 0x3E54AE0B, 0xF85DDF44 =1/ln2 tail*/
double pow0p19029(double x)
{
double y = 0.19029e+00;
double z,ax,z_h,z_l,p_h,p_l;
double y1,t1,t2,r,s,t,u,v,w;
int i,j,k,n;
int hx,hy,ix,iy;
unsigned lx,ly;
hx = __HI(x); lx = __LO(x);
hy = __HI(y); ly = __LO(y);
ix = hx&0x7fffffff; iy = hy&0x7fffffff;
ax = x;
/* special value of x */
if(lx==0) {
if(ix==0x7ff00000||ix==0||ix==0x3ff00000){
z = ax; /*x is +-0,+-inf,+-1*/
return z;
}
}
s = one; /* s (sign of result -ve**odd) = -1 else = 1 */
double ss,s2,s_h,s_l,t_h,t_l;
n = ((ix)>>20)-0x3ff;
j = ix&0x000fffff;
/* determine interval */
ix = j|0x3ff00000; /* normalize ix */
if(j<=0x3988E) k=0; /* |x|<sqrt(3/2) */
else if(j<0xBB67A) k=1; /* |x|<sqrt(3) */
else {k=0;n+=1;ix -= 0x00100000;}
__HI(ax) = ix;
/* compute ss = s_h+s_l = (x-1)/(x+1) or (x-1.5)/(x+1.5) */
u = ax-bp[k]; /* bp[0]=1.0, bp[1]=1.5 */
v = one/(ax+bp[k]);
ss = u*v;
s_h = ss;
__LO(s_h) = 0;
/* t_h=ax+bp[k] High */
t_h = zero;
__HI(t_h)=((ix>>1)|0x20000000)+0x00080000+(k<<18);
t_l = ax - (t_h-bp[k]);
s_l = v*((u-s_h*t_h)-s_h*t_l);
/* compute log(ax) */
s2 = ss*ss;
r = s2*s2*(L1+s2*(L2+s2*(L3+s2*(L4+s2*(L5+s2*L6)))));
r += s_l*(s_h+ss);
s2 = s_h*s_h;
t_h = 3.0+s2+r;
__LO(t_h) = 0;
t_l = r-((t_h-3.0)-s2);
/* u+v = ss*(1+...) */
u = s_h*t_h;
v = s_l*t_h+t_l*ss;
/* 2/(3log2)*(ss+...) */
p_h = u+v;
__LO(p_h) = 0;
p_l = v-(p_h-u);
z_h = cp_h*p_h; /* cp_h+cp_l = 2/(3*log2) */
z_l = cp_l*p_h+p_l*cp+dp_l[k];
/* log2(ax) = (ss+..)*2/(3*log2) = n + dp_h + z_h + z_l */
t = (double)n;
t1 = (((z_h+z_l)+dp_h[k])+t);
__LO(t1) = 0;
t2 = z_l-(((t1-t)-dp_h[k])-z_h);
/* split up y into y1+y2 and compute (y1+y2)*(t1+t2) */
y1 = y;
__LO(y1) = 0;
p_l = (y-y1)*t1+y*t2;
p_h = y1*t1;
z = p_l+p_h;
j = __HI(z);
i = __LO(z);
/*
* compute 2**(p_h+p_l)
*/
i = j&0x7fffffff;
k = (i>>20)-0x3ff;
n = 0;
if(i>0x3fe00000) { /* if |z| > 0.5, set n = [z+0.5] */
n = j+(0x00100000>>(k+1));
k = ((n&0x7fffffff)>>20)-0x3ff; /* new k for n */
t = zero;
__HI(t) = (n&~(0x000fffff>>k));
n = ((n&0x000fffff)|0x00100000)>>(20-k);
if(j<0) n = -n;
p_h -= t;
}
t = p_l+p_h;
__LO(t) = 0;
u = t*lg2_h;
v = (p_l-(t-p_h))*lg2+t*lg2_l;
z = u+v;
w = v-(z-u);
t = z*z;
t1 = z - t*(P1+t*(P2+t*(P3+t*(P4+t*P5))));
r = (z*t1)/(t1-two)-(w+z*w);
z = one-(r-z);
__HI(z) += (n<<20);
return s*z;
}
Понятно, что прошло более 50 лет исследований, поэтому, вероятно, очень трудно сделать что-то лучше. (Нужно понимать, что существует 0 циклов, всего 2 деления и всего 6 if операторов во всем алгоритме!). Причина этого - опять-таки поведение в x = 0, где все производные расходятся, что делает очень сложно держать ошибку под контролем: у меня когда-то было сплайн-представление с 18 узлами, которое было до x = 1e-4, с абсолютными и относительными ошибками < 5e-4 повсюду, но переход к x = 1e-5 снова разрушил все.
Итак, если требование о сколь угодно близком к нулю ослаблении, я рекомендую использовать приведенную выше адаптированную версию e_pow.c.
Изменить 4
Теперь, когда мы знаем, что область 0.3 <= x <= 1 является достаточной, и что у нас очень низкие требования к точности, Edit 3 явно переполняется. Как продемонстрировал @MvG, функция настолько хорошо себя ведет, что полином степени 7 достаточен для удовлетворения требований точности, который можно рассматривать как один сплайн-сегмент. Решение @MvG минимизирует интегральную ошибку, которая уже выглядит очень хорошо.
Возникает вопрос, насколько мы можем еще лучше справиться? Было бы интересно найти многочлен заданной степени, который минимизирует максимальную ошибку в интересующем интервале. Ответ: minimax
полином, который можно найти с помощью алгоритма Ремеза, который реализован в библиотеке Boost. Мне нравится идея @MvG, чтобы закрепить значение в x = 1 до 1, что я также буду делать. Здесь minimax.cpp:
#include <ostream>
#define TARG_PREC 64
#define WORK_PREC (TARG_PREC*2)
#include <boost/multiprecision/cpp_dec_float.hpp>
typedef boost::multiprecision::number<boost::multiprecision::cpp_dec_float<WORK_PREC> > dtype;
using boost::math::pow;
#include <boost/math/tools/remez.hpp>
boost::shared_ptr<boost::math::tools::remez_minimax<dtype> > p_remez;
dtype f(const dtype& x) {
static const dtype one(1), y(0.19029);
return one - pow(one - x, y);
}
void out(const char *descr, const dtype& x, const char *sep="") {
std::cout << descr << boost::math::tools::real_cast<double>(x) << sep << std::endl;
}
int main() {
dtype a(0), b(0.7); // range to optimise over
bool rel_error(false), pin(true);
int orderN(7), orderD(0), skew(0), brake(50);
int prec = 2 + (TARG_PREC * 3010LL)/10000;
std::cout << std::scientific << std::setprecision(prec);
p_remez.reset(new boost::math::tools::remez_minimax<dtype>(
&f, orderN, orderD, a, b, pin, rel_error, skew, WORK_PREC));
out("Max error in interpolated form: ", p_remez->max_error());
p_remez->set_brake(brake);
unsigned i, count(50);
for (i = 0; i < count; ++i) {
std::cout << "Stepping..." << std::endl;
dtype r = p_remez->iterate();
out("Maximum Deviation Found: ", p_remez->max_error());
out("Expected Error Term: ", p_remez->error_term());
out("Maximum Relative Change in Control Points: ", r);
}
boost::math::tools::polynomial<dtype> n = p_remez->numerator();
for(i = n.size(); i--; ) {
out("", n[i], ",");
}
}
Поскольку все части boost, которые мы используем, имеют только заголовок, просто создайте с помощью:
c++ -O3 -I<path/to/boost/headers> minimax.cpp -o minimax
Наконец, получим коэффициенты, которые после умножения на 44330:
24538.3409, -42811.1497, 34300.7501, -11284.1276, 4564.5847, 3186.7541, 8442.5236, 0.
Следующий график ошибок показывает, что это действительно наилучшая возможная полиномиальная аппроксимация степени-7, поскольку все экстремумы имеют одинаковую величину (0,06659):
Если требования когда-либо меняются (при сохранении вдали от 0!), приведенная выше программа на C++ может быть просто адаптирована для выплескивания нового оптимального приближения полиномов.
