Каким может быть эффективный подход к решению проблемы 8-головоломок?

Ответ 1

Я просто попытаюсь переписать предыдущий ответ с более подробной информацией о том, почему он оптимален.

Алгоритм A *, взятый непосредственно из wikipedia,

            function A*(start,goal)
                    closedset := the empty set                 // The set of nodes already evaluated.     
                    openset := set containing the initial node // The set of tentative nodes to be evaluated.
                    came_from := the empty map                 // The map of navigated nodes.
                    g_score[start] := 0                        // Distance from start along optimal path.
            h_score[start] := heuristic_estimate_of_distance(start, goal)
                    f_score[start] := h_score[start]           // Estimated total distance from start to goal through y.
                    while openset is not empty
                    x := the node in openset having the lowest f_score[] value
                    if x = goal
            return reconstruct_path(came_from, came_from[goal])
                    remove x from openset
                    add x to closedset
            foreach y in neighbor_nodes(x)
                    if y in closedset
                    continue
            tentative_g_score := g_score[x] + dist_between(x,y)

                    if y not in openset
                    add y to openset
                    tentative_is_better := true
                    elseif tentative_g_score < g_score[y]
                    tentative_is_better := true
                    else
                    tentative_is_better := false
                    if tentative_is_better = true
                    came_from[y] := x
                    g_score[y] := tentative_g_score
            h_score[y] := heuristic_estimate_of_distance(y, goal)
                    f_score[y] := g_score[y] + h_score[y]
                    return failure

            function reconstruct_path(came_from, current_node)
                    if came_from[current_node] is set
                    p = reconstruct_path(came_from, came_from[current_node])
            return (p + current_node)
                    else
                    return current_node

Итак, позвольте мне заполнить все подробности здесь.

heuristic_estimate_of_distance - функция & Sigma; d (x _i), где d (.) - расстояние Манхэттена каждого квадрата x _i от его целевого состояния.

Итак, настройка

            1 2 3
            4 7 6
            8 5 

будет иметь heuristic_estimate_of_distance 1 + 2 + 1 = 4, так как каждый из 8,5 один вдали от своей позиции цели с d (.) = 1 и 7 равен 2 от его целевого состояния с d (7 ) = 2.

Набор узлов, которые ищет A *, определяется как начальная позиция, за которой следуют все возможные юридические позиции. Это означает, что начальная позиция x такова, как указано выше:

            x =
            1 2 3
            4 7 6
            8 5 

то функция neighbor_nodes(x) создает два возможных юридических хода:

            1 2 3
            4 7 
            8 5 6

            or

            1 2 3
            4 7 6
            8   5

Функция dist_between(x,y) определяется как число квадратных шагов, которые имели место для перехода из состояния x в y. Это в основном будет равным 1 в * всегда для целей вашего алгоритма.

closedset и openset являются специфичными для алгоритма A * и могут быть реализованы с использованием стандартных структур данных (приоритетные очереди, на которые я верю.) came_from - используемая структура данных для восстановления найденного решения с помощью функции reconstruct_path, сведения о которой можно найти в википедии. Если вы не хотите помнить решение, вам не нужно это реализовывать.

Наконец, я рассмотрю вопрос об оптимальности. Рассмотрим выдержку из статьи A * wikipedia:

"Если эвристическая функция h допустима, что означает, что она никогда не переоценивает фактическую минимальную стоимость достижения цели, то A * сама допустима (или оптимальна), если мы не будем использовать замкнутое множество. Если замкнутое множество, то h также должно быть монотонным (или последовательным) для оптимального A *. Это означает, что для любой пары соседних узлов x и y, где d (x, y) обозначает длину ребра между ними, мы должны иметь: h (x) <= d (x, y) + h (y) "

Итак, достаточно показать, что наша эвристика допустима и монотонна. Для первого (допустимости) обратите внимание, что при любой конфигурации наша эвристика (сумма всех расстояний) оценивает, что каждый квадрат не ограничивается только юридическими движениями и может свободно перемещаться к своей позиции цели, что явно оптимистично оценивает, следовательно, наша эвристическая допустим (или он никогда не переоценивает, так как достижение позиции цели всегда будет занимать как минимум столько ходов, сколько эвристических оценок.)

Требование монотонности, сформулированное словами: "Эвристическая стоимость (расчетное расстояние до цели цели) любого node должна быть меньше или равна стоимости перехода на любой смежный node плюс эвристическая стоимость этого node."

В основном это предотвращает возможность отрицательных циклов, когда переход к несвязанному node может уменьшить расстояние до цели node больше, чем стоимость фактического перехода, что указывает на низкую эвристику.

Чтобы показать монотонность, это довольно просто в нашем случае. Любые смежные узлы x, y имеют d (x, y) = 1 по нашему определению d. Таким образом, нам нужно показать

h (x) <= h (y) + 1

что эквивалентно

h (x) - h (y) <= 1

что эквивалентно

& Sigma; d (x _i) - & Sigma; d (y _i) <= 1

что эквивалентно

& Sigma; d (x _i) - d (y _i) <= 1

Мы знаем по нашему определению neighbor_nodes(x), что два соседних узла x, y могут иметь не более чем положение одного квадрата, что означает, что в наших суммах член

d (x _i) - d (y _i) = 0

для всех, кроме 1 значения i. Скажем без ограничения общности, это верно для я = k. Кроме того, мы знаем, что при я = k node перемещалось не более одного места, поэтому его расстояние до состояние цели должно быть не более одного, чем в предыдущем состоянии, таким образом:

& Sigma; d (x _i) - d (y _i) = d (x _k) - d (y _k) <= 1

показывает монотонность. Это показывает, что нужно было показать, таким образом доказав, что этот алгоритм будет оптимальным (в нотации с большими О или асимптотическими способами).

Обратите внимание, что я показал оптимальность в терминах записи большого О, но есть еще много возможностей для игры с точки зрения эвристики. Вы можете добавить к нему дополнительные повороты, чтобы приблизиться к фактическому расстоянию до состояния цели, однако вы должны убедиться, что эвристика всегда недооценивается, иначе вы теряете оптимальность!

Ответ 2

Вы можете использовать эвристику, основанную на положениях чисел, то есть чем выше общая сумма всех расстояний каждой буквы от ее состояния цели, тем выше эвристическое значение. Затем вы можете реализовать поиск A *, который можно доказать как оптимальный поиск с точки зрения сложности времени и пространства (при условии, что эвристика монотонна и допустима.) http://en.wikipedia.org/wiki/A*_search_algorithm

Ответ 3

Поскольку OP не может опубликовать изображение, об этом он говорит:

Что касается решения этой головоломки, переходим к рассмотрению алгоритма итеративного углубления глубины первого поиска, что 8-головоломка эта страница.

Ответ 4

Пончик получил это! IDDFS сделает трюк, учитывая относительно ограниченное пространство поиска этой головоломки. Таким образом, было бы эффективно реагировать на вопрос ОП. Он найдет оптимальное решение, но не обязательно в оптимальной сложности.

Реализация IDDFS будет более сложной частью этой проблемы, я просто хочу предложить простой подход к управлению доской, правилам игр и т.д. Это, в частности, касается способа получения начальных состояний для разрешаемой головоломки. В намеках вопроса намечено не все случайные задачи из 9 титов (с учетом свободного слота специальной плиткой), дающие разрешимую головоломку. Это вопрос математического паритета... Итак, вот предложения по моделированию игры:

Составьте список всех матриц перестановок 3x3, которые представляют собой действительные "ходы" игры. Такой список является подмножеством 3x3s с всеми нулями и двумя. Каждая матрица получает идентификатор, который будет достаточно удобным для отслеживания ходов, в дереве поиска IDDFS. Альтернатива матрицам состоит в том, чтобы поменять местами по две позиции чисел плитки, что может привести к более быстрой реализации.

Такие матрицы можно использовать для создания начального состояния головоломки, начиная с состояния "выиграть" и запуская произвольное количество перестановок, выбранных случайным образом. В дополнение к тому, что начальное состояние разрешимо, этот подход также обеспечивает ориентировочное количество ходов, с помощью которых можно решить данную задачу.

Теперь давайте просто реализовать IDDFS algo и [joke] вернуть присваивание для A + [/joke]...

Ответ 5

Это пример классического алгоритма кратчайшего пути. Вы можете узнать больше о кратчайшем пути здесь и здесь.

Короче говоря, подумайте о всех возможных состояниях головоломки как о вершинах на некотором графе. С каждым движением вы меняете состояния - поэтому каждый допустимый ход представляет собой край графика. Поскольку ходы не имеют никакой стоимости, вы можете подумать о стоимости каждого шага: 1. Для этой проблемы будет работать следующий псевдокод С++ -

{
int[][] field = new int[3][3];
//  fill the input here
map<string, int> path;
queue<string> q;
put(field, 0); // we can get to the starting position in 0 turns
while (!q.empty()) {
    string v = q.poll();
    int[][] take = decode(v); 
    int time = path.get(v);
    if (isFinalPosition(take)) {
        return time;
    }
    for each valid move from take to int[][] newPosition {
        put(newPosition, time + 1);
    }
}
// no path
return -1;
}

void isFinalPosition(int[][] q) {
    return encode(q) == "123456780"; // 0 represents empty space
}
void put(int[][] position, int time) {
    string s = encode(newPosition);
    if (!path.contains(s)) {
        path.put(s, time);
    }
}

string encode(int[][] field) {
    string s = "";
    for (int i = 0; i < 3; i++) for (int j = 0; j < 3; j++) s += field[i][j];
    return s;
}

int[][] decode(string s) {
    int[][] ans = new int[3][3];
    for (int i = 0; i < 3; i++) for (int j = 0; j < 3; j++) field[i][j] = s[i * 3 + j];
    return ans;
}

Ответ 6

Посмотрите эту ссылку для моего параллельного итеративного углубления поиска решения для 15-головоломки, который является 4x4 старшим братом 8-головоломки.