Ответ 1
Вы вводите в заблуждение кросс-энтропию для двоичных и многоклассовых проблем.
Многоэлементная кросс-энтропия
Формула, которую вы используете, правильная и соответствует ей tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits:
-tf.reduce_sum(p * tf.log(q), axis=1)
p и q будут распределением вероятностей над N классами. В частности, N может быть 2, как в следующем примере:
p = tf.placeholder(tf.float32, shape=[None, 2])
logit_q = tf.placeholder(tf.float32, shape=[None, 2])
q = tf.nn.softmax(logit_q)
feed_dict = {
p: [[0, 1],
[1, 0],
[1, 0]],
logit_q: [[0.2, 0.8],
[0.7, 0.3],
[0.5, 0.5]]
}
prob1 = -tf.reduce_sum(p * tf.log(q), axis=1)
prob2 = tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits(labels=p, logits=logit_q)
print(prob1.eval(feed_dict)) # [ 0.43748799 0.51301527 0.69314718]
print(prob2.eval(feed_dict)) # [ 0.43748799 0.51301527 0.69314718]
Обратите внимание, что q вычисляет tf.nn.softmax, т.е. выводит распределение вероятности. Так что это еще многоклассовая кросс-энтропийная формула, только для N = 2.
Двоичная кросс-энтропия
На этот раз правильная формула
p * -tf.log(q) + (1 - p) * -tf.log(1 - q)
Хотя математически это частный случай многоклассового случая, значение p и q отличается. В простейшем случае каждый p и q является числом, соответствующим вероятности класса A.
Важно. Не путайте общую часть p * -tf.log(q) и сумму. Предыдущий p был одним горячим вектором, теперь это число, ноль или один. То же самое для q - это распределение вероятности, теперь это число (вероятность).
Если p - вектор, каждый отдельный компонент считается независимой бинарной классификацией. См. этот ответ, в котором описывается различие между softmax и сигмоидными функциями в тензорном потоке. Таким образом, определение p = [0, 0, 0, 1, 0] не означает один горячий вектор, но 5 различных функций, 4 из которых выключены и 1 включен. Определение q = [0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2] означает, что каждый из 5 признаков включен с вероятностью 20%.
Это объясняет использование функции sigmoid перед кросс-энтропией: ее цель состоит в том, чтобы выровнять логит до интервала [0, 1].
Формула выше по-прежнему выполняется для нескольких независимых функций, и именно то, что tf.nn.sigmoid_cross_entropy_with_logits вычисляет:
p = tf.placeholder(tf.float32, shape=[None, 5])
logit_q = tf.placeholder(tf.float32, shape=[None, 5])
q = tf.nn.sigmoid(logit_q)
feed_dict = {
p: [[0, 0, 0, 1, 0],
[1, 0, 0, 0, 0]],
logit_q: [[0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2],
[0.3, 0.3, 0.2, 0.1, 0.1]]
}
prob1 = -p * tf.log(q)
prob2 = p * -tf.log(q) + (1 - p) * -tf.log(1 - q)
prob3 = p * -tf.log(tf.sigmoid(logit_q)) + (1-p) * -tf.log(1-tf.sigmoid(logit_q))
prob4 = tf.nn.sigmoid_cross_entropy_with_logits(labels=p, logits=logit_q)
print(prob1.eval(feed_dict))
print(prob2.eval(feed_dict))
print(prob3.eval(feed_dict))
print(prob4.eval(feed_dict))
Вы должны увидеть, что последние три тензора равны, а prob1 - только часть кросс-энтропии, поэтому он содержит правильное значение, только если p равно 1:
[[ 0. 0. 0. 0.59813893 0. ]
[ 0.55435514 0. 0. 0. 0. ]]
[[ 0.79813886 0.79813886 0.79813886 0.59813887 0.79813886]
[ 0.5543552 0.85435522 0.79813886 0.74439669 0.74439669]]
[[ 0.7981388 0.7981388 0.7981388 0.59813893 0.7981388 ]
[ 0.55435514 0.85435534 0.7981388 0.74439663 0.74439663]]
[[ 0.7981388 0.7981388 0.7981388 0.59813893 0.7981388 ]
[ 0.55435514 0.85435534 0.7981388 0.74439663 0.74439663]]
Теперь должно быть ясно, что взятие суммы -p * tf.log(q) вдоль axis=1 не имеет смысла в этой настройке, хотя это будет допустимая формула в многоклассовом случае.