Ответ 1
Все доступные поставщики перечислены в https://docs.microsoft.com/en-us/ef/core/providers/. На момент написания статьи есть 3 разных поставщика EF Core, две версии сообщества и одна официальная версия.
ОБНОВЛЕНИЕ 15 сентября 2016 г.
MySQL выпустил первую версию официального поставщика для EF Core.
https://www.nuget.org/packages/MySql.Data.EntityFrameworkCore
Существует также версия сообщества поставщика MySQL
https://www.nuget.org/packages/Pomelo.EntityFrameworkCore.MySQL
ОБНОВЛЕНИЕ 23 мая 2016 г.
MySQL анонсировала (спокойно), что они создают поставщика EF Core 1.0. О его доступности пока нет. См. https://docs.efproject.net/en/latest/providers/mysql/index.html
Кроме того, DevArt анонсировал месяц назад, что их (проприетарные, несвободные) поставщики поддерживают EF 7 только на платформе .NET Framework, включая их поставщика MySQL. Пока нет новостей о намерении поддержать .NET Core. http://blog.devart.com/entity-framework-core-1-entity-framework-7-support.html