Логарифмически разнесенные целые числа
Скажем, у меня есть вектор размером 10 000 pt, который я хочу взять срез из 100 логарифмически разнесенных точек. Я хочу, чтобы функция давала мне целочисленные значения для индексов. Здесь простое решение, которое просто использует вокруг + logspace, а затем избавляется от дубликатов.
def genLogSpace( array_size, num ):
lspace = around(logspace(0,log10(array_size),num)).astype(uint64)
return array(sorted(set(lspace.tolist())))-1
ls=genLogspace(1e4,100)
print ls.size
>>84
print ls
array([ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 30,
33, 37, 40, 44, 49, 54, 59, 65, 71, 78, 86,
94, 104, 114, 125, 137, 151, 166, 182, 200, 220, 241,
265, 291, 319, 350, 384, 422, 463, 508, 558, 613, 672,
738, 810, 889, 976, 1071, 1176, 1291, 1416, 1555, 1706, 1873,
2056, 2256, 2476, 2718, 2983, 3274, 3593, 3943, 4328, 4750, 5213,
5721, 6279, 6892, 7564, 8301, 9111, 9999], dtype=uint64)
Обратите внимание, что было 16 дубликатов, поэтому теперь у меня только 84 точки.
Есть ли у кого-нибудь решение, которое эффективно обеспечит количество выходных выборок num? Для этого конкретного примера входные значения для числа 121 и 122 дают 100 точек вывода.
Ответы
Ответ 1
Это немного сложно. Вы не всегда можете получить логарифмически разнесенные числа. Как и в вашем примере, первая часть довольно линейна. Если у вас все в порядке, у меня есть решение. Но для решения вы должны понять, почему у вас есть дубликаты.
Логарифмическая шкала удовлетворяет условию:
s[n+1]/s[n] = constant
Позвольте называть эту константу r
для ratio
. Для n
этих чисел между диапазоном 1...size
вы получите:
1, r, r**2, r**3, ..., r**(n-1)=size
Итак, это дает вам:
r = size ** (1/(n-1))
В вашем случае n=100
и size=10000
, r
будет ~1.0974987654930561
, что означает, что если вы начинаете с 1
, ваш следующий номер будет 1.0974987654930561
, который затем округляется до 1
снова. Таким образом, ваши дубликаты. Этот вопрос присутствует для небольших номеров. После достаточно большого числа умножение с отношением приведет к другому округленному целому числу.
Помня об этом, лучше всего добавить последовательные целые числа до определенной точки, чтобы это умножение с отношением больше не было проблемой. Затем вы можете продолжить логарифмическое масштабирование. Следующая функция делает это:
import numpy as np
def gen_log_space(limit, n):
result = [1]
if n>1: # just a check to avoid ZeroDivisionError
ratio = (float(limit)/result[-1]) ** (1.0/(n-len(result)))
while len(result)<n:
next_value = result[-1]*ratio
if next_value - result[-1] >= 1:
# safe zone. next_value will be a different integer
result.append(next_value)
else:
# problem! same integer. we need to find next_value by artificially incrementing previous value
result.append(result[-1]+1)
# recalculate the ratio so that the remaining values will scale correctly
ratio = (float(limit)/result[-1]) ** (1.0/(n-len(result)))
# round, re-adjust to 0 indexing (i.e. minus 1) and return np.uint64 array
return np.array(list(map(lambda x: round(x)-1, result)), dtype=np.uint64)
Обновление Python 3: Последняя строка была return np.array(map(lambda x: round(x)-1, result), dtype=np.uint64)
в Python 2
Вот несколько примеров использования:
In [157]: x = gen_log_space(10000, 100)
In [158]: x.size
Out[158]: 100
In [159]: len(set(x))
Out[159]: 100
In [160]: y = gen_log_space(2000, 50)
In [161]: y.size
Out[161]: 50
In [162]: len(set(y))
Out[162]: 50
In [163]: y
Out[163]:
array([ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11,
13, 14, 17, 19, 22, 25, 29, 33, 38, 43, 49,
56, 65, 74, 84, 96, 110, 125, 143, 164, 187, 213,
243, 277, 316, 361, 412, 470, 536, 612, 698, 796, 908,
1035, 1181, 1347, 1537, 1753, 1999], dtype=uint64)
И просто, чтобы показать вам, как выглядят логарифмические результаты, вот полулогарифмический вывод вывода для x = gen_log_scale(10000, 100)
(как вы можете видеть, левая часть на самом деле не логарифмическая):
![enter image description here]()
Ответ 2
Подход в Ответ Avaris о создании ваших точек в лог-центрах напрямую, определенно, путь. Но я подумал, что было бы интересно посмотреть, как выбрать подходящее значение для перехода на logspace
, чтобы получить то, что вы хотите.
Значения в массиве, порожденные logspace(0, k, n)
, - это числа 10 ik/(n-1) для 0 ≤ я < п
>>> numpy.logspace(0, 2, 10)
array([ 1. , 1.66810054, 2.7825594 , 4.64158883,
7.74263683, 12.91549665, 21.5443469 , 35.93813664,
59.94842503, 100. ])
>>> [10 ** (i * 2 / 9.0) for i in xrange(10)]
[1.0, 1.6681005372000588, 2.7825594022071245, 4.641588833612778,
7.742636826811269, 12.91549665014884, 21.544346900318832,
35.938136638046274, 59.94842503189409, 100.0]
Эта последовательность состоит из начального сегмента, где значения более близки к единице (и, следовательно, могут быть дубликаты, когда они округлены до ближайшего целого числа), за которым следует сегмент, где значения являются более широкими, чем единичные интервалы и дубликатов нет.
>>> ' '.join('{:.2f}'.format(10 ** (i * 2 / 19.0)) for i in xrange(20))
'1.00 1.27 1.62 2.07 2.64 3.36 4.28 5.46 6.95 8.86 11.29 14.38 18.33 23.36
29.76 37.93 48.33 61.58 78.48 100.00'
>>> [int(0.5 + 10 ** (i * 2 / 19.0)) for i in xrange(20)]
[1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 14, 18, 23, 30, 38, 48, 62, 78, 100]
Интервал между значениями равен s (i) = 10 iK - 10 (i-1) K где K = k/(n - 1). Пусть m - наименьшее значение, такое, что s ( m) ≥ 1. (m = 7 в приведенном выше примере). Тогда, когда дубликаты удалены, существует ровно ⌊½ + 10 (m -1) K ⌋ + n - m оставшихся чисел.
Немного алгебр находит:
m = ⌈ - log (1 - 10 -K)/K log 10 ⌉
Проверьте, что.
from math import ceil, floor, log
def logspace_size(k, n):
"""
Return the number of distinct integers we'll get if we round
`numpy.logspace(0, k, n)` to the nearest integers and remove
duplicates.
>>> logspace_size(4, 100)
84
>>> logspace_size(4, 121)
100
>>> from numpy import around, logspace
>>> all(logspace_size(k, n) == len(set(around(logspace(0, k, n))))
... for k in xrange(1,10) for n in xrange(2,100))
True
"""
K = float(k) / (n - 1)
m = int(ceil(- log(1 - 10 ** -K) / (K * log(10))))
if m < n:
return int(0.5 + 10 ** ((m - 1) * K)) + n - m
else:
return int(0.5 + 10 ** ((n - 1) * K))
Учения проходят, так что это выглядит хорошо для меня. Итак, все, что вам нужно сделать, это найти n
, чтобы logspace_size(4, n) == 100
. Вы можете сделать это с помощью бинарной отбивной или одного из методов scipy.optimize
:
>>> f = lambda x, k, n:(logspace_size(k, x) - n)**2
>>> int(round(scipy.optimize.fmin(f, 100, args=(4,100), xtol=0.5, ftol=0.5)[0]))
Optimization terminated successfully.
Current function value: 0.015625
Iterations: 8
Function evaluations: 17
122
Ответ 3
У меня есть при поиске простого метода для получения логарифмически разнесенных рядов (с базой 10) в python (без использования numpy). Но ваши решения являются сложными для моих сверхпростых требований.
def logarithmic_decade(numbers_per_decade, offset=10):
for n in xrange(numbers_per_decade):
yield offset * 10.0 ** (n / float(numbers_per_decade))
Так как это генератор для получения списка, вы должны:
numbers = list(logarithmic_decade(5))
print numbers
[10.0, 15.848931924611136, 25.118864315095802, 39.81071705534972, 63.095734448019336]
for p, n in zip(numbers, numbers[1:] + [100]):
print 'prev = {p:.2f}, next = {n:.2f}, next/prev = {rt:.4f}'.format(p=p, n=n, rt=n / p)
Дает следующий результат:
prev = 10.00, next = 15.85, next/prev = 1.5849
prev = 15.85, next = 25.12, next/prev = 1.5849
prev = 25.12, next = 39.81, next/prev = 1.5849
prev = 39.81, next = 63.10, next/prev = 1.5849
prev = 63.10, next = 100.00, next/prev = 1.5849