Ответ 1
Фактическая проблема вашей линии crontab - это не $() или backquotes. Проблема заключается в знаке процента %. Это имеет особое значение в crontabs.
Из man-страницы:
...
Percent-signs (%) in the command, unless escaped with backslash (\),
will be changed into newline characters, and all data after the
first % will be sent to the command as standard input.
...
Если вы избежите знака процента с помощью \, он должен работать как ожидалось:
* * * * * echo $(date +\%F) >> /tmp/date.txt
или
* * * * * echo `date +\%F` >> /tmp/date2.txt
оба работают на моем сайте.