Ответ 1
Я подозреваю, что это не может быть функцией sympy по следующим причинам:
Первый, если theta не является алгебраической над целыми числами, то примыкание tota к кольцу многочленов над целыми числами изоморфно.
Например, pi не является алгебраическим по целым числам, так как нет целочисленных коэффициентов, которые в сочетании с pi и степенями pi равны нулю.
Чтобы доказать, что они на самом деле изоморфны, просто возьмем гомоморфизм оценочного кольца, который оценивает каждый многочлен в точке pi.
Это не может быть готовой функцией, потому что вычисление того, является ли число неалгебраическим над любым кольцом, нетривиально. Например, определение того, является ли или нет e + pi алгебраическим, остается открытым вопросом.
Это может быть достигнуто в sympy на
from sympy.polys.domains import ZZ, QQ, RR, FF, EX
x, y, z, t = symbols('x y z t')
ZZ['theta']
или
ZZ[t]
Можно легко проверить, что это, действительно, дает вам кольцо многочленов над целыми числами.
Second, числа, которые являются алгебраическими (числа, такие как мнимое число i, которые являются корнями целочисленных многочленов), могут быть получены путем взятия полиномиального кольца по модулю и идеи, порожденной это уникальный мононический многочлен.
Итак, если theta - мнимое число i, которое имеет единственный мононический многочлен x^2+1
>>> QQ.old_poly_ring(x).ideal(x**2+1)
<x**2 + 1>
>>> ZZ.old_poly_ring(x).ideal(x**2+1)
Traceback (most recent call last):
File "<stdin>", line 1, in <module>
File "/usr/local/lib/python2.7/dist-packages/sympy/polys/domains/ring.py", line 91, in ideal
return ModuleImplementedIdeal(self, self.free_module(1).submodule(
File "/usr/local/lib/python2.7/dist- packages/sympy/polys/domains/old_polynomialring.py", line 192, in free_module
return FreeModulePolyRing(self, rank)
File "/usr/local/lib/python2.7/dist-packages/sympy/polys/agca/modules.py", line 455, in __init__
+ 'got %s' % ring.dom)
NotImplementedError: Ground domain must be a field, got ZZ
Кроме того, попробуйте следующее:
>>> QQ.old_poly_ring(x).quotient_ring([x**2])
QQ[x]/<x**2>
>>> ZZ.old_poly_ring(x).quotient_ring([x**2])
Traceback (most recent call last):
File "<stdin>", line 1, in <module>
File "/usr/local/lib/python2.7/dist-packages/sympy/polys/domains/ring.py", line 115, in quotient_ring
e = self.ideal(*e)
File "/usr/local/lib/python2.7/dist-packages/sympy/polys/domains/ring.py", line 91, in ideal
return ModuleImplementedIdeal(self, self.free_module(1).submodule(
File "/usr/local/lib/python2.7/dist-packages/sympy/polys/domains/old_polynomialring.py", line 192, in free_module
return FreeModulePolyRing(self, rank)
File "/usr/local/lib/python2.7/dist-packages/sympy/polys/agca/modules.py", line 455, in __init__
+ 'got %s' % ring.dom)
NotImplementedError: Ground domain must be a field, got ZZ
Однако полезная функциональность реализована только для полиномиальных колец над полями и различных локализаций и их частных.
Короче говоря, если theta не является алгебраической над целыми числами, это может быть невозможно в рамках sympy.
Однако, представляя кольца таким образом, может быть достигнуто путем создания классов и использования магических методов Python для переопределения регулярного поведения + и *, что по сути является тем, что нам нужно изучить кольца.
Вот пример гауссовских целых чисел, упомянутых выше. Этот код может быть легко переназначен, чтобы дать вам, скажем, квадратный корень из 2 или любое другое алгебраическое число над целыми числами.