Реализация функции активации softmax для нейронных сетей

Я использую функцию активации Softmax в последнем слое нейронной сети. Но у меня проблемы с безопасной реализацией этой функции.

Наивная реализация будет следующей:

Vector y = mlp(x); // output of the neural network without softmax activation function
for(int f = 0; f < y.rows(); f++)
  y(f) = exp(y(f));
y /= y.sum();

Это не очень хорошо работает для > 100 скрытых узлов, потому что во многих случаях y будет NaN (если y (f) > 709, exp (y (f)) вернет inf). Я придумал эту версию:

Vector y = mlp(x); // output of the neural network without softmax activation function
for(int f = 0; f < y.rows(); f++)
  y(f) = safeExp(y(f), y.rows());
y /= y.sum();

где safeExp определяется как

double safeExp(double x, int div)
{
  static const double maxX = std::log(std::numeric_limits<double>::max());
  const double max = maxX / (double) div;
  if(x > max)
    x = max;
  return std::exp(x);
}

Эта функция ограничивает ввод exp. В большинстве случаев это работает, но не во всех случаях, и мне действительно не удалось выяснить, в каких случаях это не работает. Когда у меня есть 800 скрытых нейронов в предыдущем слое, он вообще не работает.

Однако, даже если это сработало, я как-то "исказил" результат ANN. Можете ли вы подумать о другом способе расчета правильного решения? Существуют ли какие-либо библиотеки или трюки С++, которые я могу использовать для вычисления точного вывода этого ANN?

edit: Решение, предлагаемое Итамаром Кацем:

Vector y = mlp(x); // output of the neural network without softmax activation function
double ymax = maximal component of y
for(int f = 0; f < y.rows(); f++)
  y(f) = exp(y(f) - ymax);
y /= y.sum();

И это действительно математически одинаково. Однако на практике некоторые небольшие значения становятся 0 из-за точности с плавающей запятой. Интересно, почему никто никогда не записывал эти подробности реализации в учебниках.

Ответы

zj = wj . x + bj
oj = exp(zj)/sum_i{ exp(zi) }
log oj = zj - log sum_i{ exp(zi) }

log oj = zj - log {sum_i { exp(zi + m - m)}}
   = zj - log {sum_i { exp(m) exp(zi - m) }},
   = zj - log {exp(m) sum_i {exp(zi - m)}}
   = zj - m - log {sum_i { exp(zi - m)}}

oj = exp (zj - m - log{sum_i{exp(zi-m)}})