Оптимизация кода C
Для назначения курса под названием High Performance Computing мне необходимо оптимизировать следующий фрагмент кода:
int foobar(int a, int b, int N)
{
int i, j, k, x, y;
x = 0;
y = 0;
k = 256;
for (i = 0; i <= N; i++) {
for (j = i + 1; j <= N; j++) {
x = x + 4*(2*i+j)*(i+2*k);
if (i > j){
y = y + 8*(i-j);
}else{
y = y + 8*(j-i);
}
}
}
return x;
}
Используя некоторые рекомендации, мне удалось оптимизировать код (или, по крайней мере, я так думаю), например:
- Постоянное распространение
- Алгебраическое упрощение
- Копирование распространения
- Устранение общих подвыражений
- Устранение мертвого кода
- Инвариантное удаление цикла
- побитовые сдвиги вместо умножения, поскольку они менее дороги.
Здесь мой код:
int foobar(int a, int b, int N) {
int i, j, x, y, t;
x = 0;
y = 0;
for (i = 0; i <= N; i++) {
t = i + 512;
for (j = i + 1; j <= N; j++) {
x = x + ((i<<3) + (j<<2))*t;
}
}
return x;
}
Согласно моему инструктору, хорошо оптимизированные инструкции кода должны иметь меньше или менее дорогостоящих инструкций на уровне языка ассемблера. И поэтому должны выполняться инструкции за меньшее время, чем исходный код, то есть расчеты выполняются с::
время выполнения = количество команд * циклов на команду
Когда я генерирую код сборки с помощью команды: gcc -o code_opt.s -S foobar.c,
сгенерированный код имеет гораздо больше строк, чем оригинал, несмотря на то, что он сделал некоторые оптимизации, а время выполнения меньше, но не так сильно, как в исходном коде. Что я делаю неправильно?
Не вставляйте код сборки, поскольку они очень обширны. Поэтому я вызываю функцию "foobar" в основном, и я измеряю время выполнения, используя команду time в linux
int main () {
int a,b,N;
scanf ("%d %d %d",&a,&b,&N);
printf ("%d\n",foobar (a,b,N));
return 0;
}
Ответы
Ответ 1
Первоначально:
for (i = 0; i <= N; i++) {
for (j = i + 1; j <= N; j++) {
x = x + 4*(2*i+j)*(i+2*k);
if (i > j){
y = y + 8*(i-j);
}else{
y = y + 8*(j-i);
}
}
}
Удаление y вычислений:
for (i = 0; i <= N; i++) {
for (j = i + 1; j <= N; j++) {
x = x + 4*(2*i+j)*(i+2*k);
}
}
Разделение i, j, k:
for (i = 0; i <= N; i++) {
for (j = i + 1; j <= N; j++) {
x = x + 8*i*i + 16*i*k ; // multiple of 1 (no j)
x = x + (4*i + 8*k)*j ; // multiple of j
}
}
Перемещение их извне (и удаление цикла, который запускает N-i раз):
for (i = 0; i <= N; i++) {
x = x + (8*i*i + 16*i*k) * (N-i) ;
x = x + (4*i + 8*k) * ((N*N+N)/2 - (i*i+i)/2) ;
}
переписано:
for (i = 0; i <= N; i++) {
x = x + ( 8*k*(N*N+N)/2 ) ;
x = x + i * ( 16*k*N + 4*(N*N+N)/2 + 8*k*(-1/2) ) ;
x = x + i*i * ( 8*N + 16*k*(-1) + 4*(-1/2) + 8*k*(-1/2) );
x = x + i*i*i * ( 8*(-1) + 4*(-1/2) ) ;
}
Переписывание - пересчет:
for (i = 0; i <= N; i++) {
x = x + 4*k*(N*N+N) ; // multiple of 1
x = x + i * ( 16*k*N + 2*(N*N+N) - 4*k ) ; // multiple of i
x = x + i*i * ( 8*N - 20*k - 2 ) ; // multiple of i^2
x = x + i*i*i * ( -10 ) ; // multiple of i^3
}
Еще одно перемещение к внешнему (и удаление цикла i):
x = x + ( 4*k*(N*N+N) ) * (N+1) ;
x = x + ( 16*k*N + 2*(N*N+N) - 4*k ) * ((N*(N+1))/2) ;
x = x + ( 8*N - 20*k - 2 ) * ((N*(N+1)*(2*N+1))/6);
x = x + (-10) * ((N*N*(N+1)*(N+1))/4) ;
Оба вышеупомянутых удаления цикла используют формулы summation:
Сумма (1, я = 0..n) = n + 1
Sum (i 1 я = 0..n) = n (n + 1)/2
Sum (i 2 я = 0..n) = n (n + 1) (2n + 1)/6
Sum (i 3 я = 0..n) = n 2 (n + 1) 2/4
Ответ 2
y не влияет на окончательный результат удаления кода:
int foobar(int a, int b, int N)
{
int i, j, k, x, y;
x = 0;
//y = 0;
k = 256;
for (i = 0; i <= N; i++) {
for (j = i + 1; j <= N; j++) {
x = x + 4*(2*i+j)*(i+2*k);
//if (i > j){
// y = y + 8*(i-j);
//}else{
// y = y + 8*(j-i);
//}
}
}
return x;
}
k является просто константой:
int foobar(int a, int b, int N)
{
int i, j, x;
x = 0;
for (i = 0; i <= N; i++) {
for (j = i + 1; j <= N; j++) {
x = x + 4*(2*i+j)*(i+2*256);
}
}
return x;
}
Внутреннее выражение можно преобразовать в: x += 8*i*i + 4096*i + 4*i*j + 2048*j. Используйте математику, чтобы вытолкнуть все из них во внешний цикл: x += 8*i*i*(N-i) + 4096*i*(N-i) + 2*i*(N-i)*(N+i+1) + 1024*(N-i)*(N+i+1).
Вы можете развернуть выражение выше и применить сумму квадратов и сумму формулы кубов, чтобы получить выражение закрытой формы, которое должно работать быстрее чем двойной вложенный цикл. Я оставляю это как упражнение для вас. В результате также будут удалены i и j.
a и b также должны быть удалены, если это возможно - поскольку a и b поставляются в качестве аргумента, но никогда не используются в вашем коде.
Сумма квадратов и сумма формулы кубов:
- Сумма (x 2 x = 1..n) = n (n + 1) (2n + 1)/6
- Сумма (x 3 x = 1..n) = n 2 (n + 1) 2/4
Ответ 3
Эта функция эквивалентна следующей формуле, которая содержит только 4 целых умножения и 1 целочисленное деление:
x = N * (N + 1) * (N * (7 * N + 8187) - 2050) / 6;
Чтобы получить это, я просто набрал сумму, рассчитанную вашими вложенными циклами, в Wolfram Alpha:
sum (sum (8*i*i+4096*i+4*i*j+2048*j), j=i+1..N), i=0..N
Здесь - прямая ссылка на решение. Подумайте перед кодированием. Иногда ваш мозг может оптимизировать код лучше, чем любой компилятор.
Ответ 4
Кратко сканируя первую процедуру, первое, что вы заметите, это то, что выражения, содержащие "y", полностью не используются и могут быть устранены (как и вы). Это также позволяет исключить if/else (как и вы).
Остается два цикла for и беспорядочное выражение. Факторизация частей этого выражения, которые не зависят от j, является следующим шагом. Вы удалили одно такое выражение, но (i<<3) (т.е. я * 8) остается во внутреннем цикле и может быть удалено.
Ответ Pascal напомнил мне, что вы можете использовать оптимизацию шага цикла. Сначала переместите (i<<3) * t из внутреннего цикла (вызовите его i1), а затем подсчитайте при инициализации цикла значение j1, равное (i<<2) * t. При каждом приращении итерации j1 на 4 * t (который является предварительно рассчитанной константой). Замените свое внутреннее выражение на x = x + i1 + j1;.
Кто-то подозревает, что может быть какой-то способ объединить две петли в одну, с шагом, но я не вижу его в стороне.
Ответ 5
Несколько других вещей, которые я вижу. Вам не нужно y, поэтому вы можете удалить его объявление и инициализацию.
Кроме того, значения, принятые для a и b, фактически не используются, поэтому вы можете использовать их как локальные переменные вместо x и t.
Кроме того, вместо добавления i to 512 каждый раз, вы можете заметить, что t начинается с 512 и увеличивается на 1 каждую итерацию.
int foobar(int a, int b, int N) {
int i, j;
a = 0;
b = 512;
for (i = 0; i <= N; i++, b++) {
for (j = i + 1; j <= N; j++) {
a = a + ((i<<3) + (j<<2))*b;
}
}
return a;
}
Как только вы дойдете до этого момента, вы также можете заметить, что помимо инициализации j, i и j используются только в одном мутиле каждый - i<<3 и j<<2. Мы можем закодировать это непосредственно в логике цикла, таким образом:
int foobar(int a, int b, int N) {
int i, j, iLimit, jLimit;
a = 0;
b = 512;
iLimit = N << 3;
jLimit = N << 2;
for (i = 0; i <= iLimit; i+=8) {
for (j = i >> 1 + 4; j <= jLimit; j+=4) {
a = a + (i + j)*b;
}
b++;
}
return a;
}
Ответ 6
ОК... так вот мое решение, а также встроенные комментарии, чтобы объяснить, что я сделал и как.
int foobar(int N)
{ // We eliminate unused arguments
int x = 0, i = 0, i2 = 0, j, k, z;
// We only iterate up to N on the outer loop, since the
// last iteration doesn't do anything useful. Also we keep
// track of '2*i' (which is used throughout the code) by a
// second variable 'i2' which we increment by two in every
// iteration, essentially converting multiplication into addition.
while(i < N)
{
// We hoist the calculation '4 * (i+2*k)' out of the loop
// since k is a literal constant and 'i' is a constant during
// the inner loop. We could convert the multiplication by 2
// into a left shift, but hey, let not go *crazy*!
//
// (4 * (i+2*k)) <=>
// (4 * i) + (4 * 2 * k) <=>
// (2 * i2) + (8 * k) <=>
// (2 * i2) + (8 * 512) <=>
// (2 * i2) + 2048
k = (2 * i2) + 2048;
// We have now converted the expression:
// x = x + 4*(2*i+j)*(i+2*k);
//
// into the expression:
// x = x + (i2 + j) * k;
//
// Counterintuively we now *expand* the formula into:
// x = x + (i2 * k) + (j * k);
//
// Now observe that (i2 * k) is a constant inside the inner
// loop which we can calculate only once here. Also observe
// that is simply added into x a total (N - i) times, so
// we take advantange of the abelian nature of addition
// to hoist it completely out of the loop
x = x + (i2 * k) * (N - i);
// Observe that inside this loop we calculate (j * k) repeatedly,
// and that j is just an increasing counter. So now instead of
// doing numerous multiplications, let break the operation into
// two parts: a multiplication, which we hoist out of the inner
// loop and additions which we continue performing in the inner
// loop.
z = i * k;
for (j = i + 1; j <= N; j++)
{
z = z + k;
x = x + z;
}
i++;
i2 += 2;
}
return x;
}
Код без каких-либо объяснений сводится к следующему:
int foobar(int N)
{
int x = 0, i = 0, i2 = 0, j, k, z;
while(i < N)
{
k = (2 * i2) + 2048;
x = x + (i2 * k) * (N - i);
z = i * k;
for (j = i + 1; j <= N; j++)
{
z = z + k;
x = x + z;
}
i++;
i2 += 2;
}
return x;
}
Надеюсь, это поможет.
Ответ 7
int foobar (int N)//Чтобы избежать использования аргумента использования
{
int i, j, x=0; //Remove unuseful variable, operation so save stack and Machine cycle
for (i = N; i--; ) //Don't check unnecessary comparison condition
for (j = N+1; --j>i; )
x += (((i<<1)+j)*(i+512)<<2); //Save Machine cycle ,Use shift instead of Multiply
return x;
}
