Ответ 1
Это сложный материал. Пожалуйста, прочитайте книгу по этой теме, чтобы получить все подробные сведения о математике и nitty. Если вы планируете играть с этим материалом, вам нужно знать все это. Этот ответ только для того, чтобы вы могли мочить ноги и взламывать.
Умножающиеся матрицы
Прежде всего. Умножающиеся матрицы - это разумно простое дело.
Скажем, у вас есть матрицы A, B и C, где AB = C. Скажем, вы хотите выяснить значение матрицы C в строке 3, столбец 2.
- Возьмите третью строку A и второй столбец B. Теперь вы должны иметь такое же количество значений от A и B. (Если вы не выполняете матричное умножение для этих двух матриц, вы не можете этого сделать.) Если оба являются 4 × 4 матрицами, вы должны иметь 4 значения из A (строка 3) и 4 значения из B ( столбец 2).
- Умножьте каждое значение A с каждым значением B. В итоге вы получите 4 новых значения.
- Добавьте эти значения.
Теперь у вас есть значение матрицы C в строке 3, столбец 2. Задача, конечно же, сделать это программно.
/* AB = C
Row-major ordering
a[0][0] a[0][2] a[0][3]...
a[1][0] a[1][4] ...
a[2][0] ...
...*/
public static mmMul(double[][] a, double[][] b, double[][] c) {
c_height = b.length; // Height of b
c_width = a[0].length; // Width of a
common_side = a.length; // Height of a, width of b
for (int i = 0; i < c_height; i++) {
for (int j = 0; j < c_width; j++) {
// Ready to calculate value of c[i][j]
c[i][j] = 0;
// Iterate through ith row of a, jth col of b in lockstep
for (int k = 0; k < common_side; k++) {
c[i][j] += a[i][k] * b[k][j];
}
}
}
}
Гомогенные координаты
У вас есть 3D-координаты. Скажем, у вас есть (5, 2, 1). Это декартовы координаты. Пусть назовем их (x, y, z).
Гомогенные координаты означают, что вы пишете лишний 1 в конце ваших декартовых координат. (5, 2, 1) становится (5, 2, 1, 1). Пусть назовем их (x, y, z, w).
Всякий раз, когда вы выполняете преобразование, которое делает w ≠ 1, вы делите каждый компонент ваших координат на w. Это изменяет ваши x, y и z, и это снова делает w = 1. (Нет никакого вреда в этом, даже когда ваша трансформация не изменится w. Она просто делит все на 1, что ничего не делает.)
Есть несколько замечательных вещей, которые вы можете сделать с однородными координатами, даже если математика позади них не дает полного смысла. Именно в этот момент я прошу вас снова взглянуть на совет в верхней части этого ответа.
Преобразование точки
Я буду использовать терминологию и подходы OpenGL в этом и следующих разделах. Если что-то неясно или, похоже, противоречит вашим целям (потому что это кажется смутным домашним заданием - как мне: P), пожалуйста, оставьте комментарий.
Я также начну с предположения, что правильны ваши рулонные, наклонные и поворотные матрицы.
Если вы хотите преобразовать точку с помощью матрицы преобразования, вы умножаете ее на эту матрицу с вектором столбца, представляющим вашу точку. Скажем, вы хотите перевести (5, 2, 1) на некоторую матрицу преобразования A. Сначала вы определяете v = [5, 2, 1, 1] T. (Я пишу [x, y, z, w] T с little T, чтобы вы могли написать его как вектор-столбец.)
// Your point in 3D
double v[4][5] = {{5}, {2}, {1}, {1}}
В этом случае Av = v 1, где v 1 - ваша преобразованная точка. Сделайте это умножение как матричное умножение, где A - 4 × 4, а v - 4 × 1. В итоге вы получите матрицу размером 4 × 1 (это еще один вектор столбца).
// Transforming a single point with a roll
double v_1[4][6];
mmMul(rollMat, v, v_1);
Теперь, если у вас есть несколько матриц преобразования, сначала объедините их в одну матрицу преобразования. Сделайте это, умножив матрицы вместе в том порядке, в котором вы их применяете.
Программно, вы должны начать с матрицы идентичности и умножать каждую матрицу преобразования. Пусть я 4 - 4 × 4 единичная матрица, и пусть A 1, A 2, A 3... быть вашими матрицами преобразования. Пусть ваша конечная матрица преобразования будет A final
A final ← я 4
A final ← A final A 1
A final ← A final A 2
A final ← A final A 3
Обратите внимание, что я использую эту стрелку для представления присваивания. Когда вы реализуете это, убедитесь, что не перезаписываете A final, пока вы все еще используете его в вычислении матричного умножения! Сделайте копию.
// A composite transformation matrix (roll, then tilt)
double a_final[4][4] =
{
{1, 0, 0, 0},
{0, 1, 0, 0},
{0, 0, 1, 0},
{0, 0, 0, 1}
}; // the 4 x 4 identity matrix
double a_final_copy[4][4];
mCopy(a_final, a_final_copy); // make a copy of a_final
mmMul(rollMat, a_final_copy, a_final);
mCopy(a_final, a_final_copy); // update the copy
mmMul(tiltMat, a_final_copy, a_final);
Наконец, сделайте то же самое умножение, что и выше: A final v = v 1
// Use the above matrix to transform v
mmMul(a_final, v, v_1);
От начала и до конца
Преобразования камеры должны быть представлены как матрица вида. Выполните здесь операцию A view v = v 1. (v представляет ваши мировые координаты как вектор столбца 4 × 1, A final - это ваш A view.)
// World coordinates to eye coordinates
// A_view is a_final from above
mmMult(a_view, v_world, v_view);
Преобразования проекций описывают перспективное преобразование. Это то, что делает объекты ближе к более крупным и более мелким объектам. Это выполняется после преобразования камеры. Если вы еще не хотите перспективы, просто используйте матрицу идентификации матрицы проекции. В любом случае, выполните здесь 1= v 2.
// Eye coordinates to clip coordinates
// If you don't care about perspective, SKIP THIS STEP
mmMult(a_projection, v_view, v_eye);
Затем вам нужно сделать разделение перспективы. Это углубляется глубже в однородные координаты, о которых я еще не описал. В любом случае, разделите каждый компонент v 2 на последний компонент v 2. Если v 2= [x, y, z, w] T то разделим каждую компоненту на w (включая сам w). Вы должны в конечном итоге получить w = 1. (Если ваша матрица проецирования является идентификационной матрицей, как я описал ранее, этот шаг ничего не должен делать.)
// Clip coordinates to normalized device coordinates
// If you skipped the previous step, SKIP THIS STEP
for (int i = 0; i < 4; i++) {
v_ndc[i] = v_eye[i] / v[3];
}
Наконец, возьмите v 2. Первые две координаты - ваши координаты x и y. Третий - это z, который вы можете выбросить. (Позже, как только вы получите очень продвинутый, вы можете использовать это значение z, чтобы выяснить, какая точка находится перед или за какой-то другой точкой.) И на этом этапе последний компонент равен w = 1, так что вам не нужно это уже не так.
x = v_ndc[0]
y = v_ndc[1]
z = v_ndc[2] // unused; your screen is 2D
Если вы пропустили шаги разделения перспективы и перспективы, используйте v_view вместо v_ndc выше.
Это очень похоже на набор систем координат OpenGL. Разница в том, что вы начинаете с мировых координат, а OpenGL начинается с координат объекта. Разница заключается в следующем:
- Вы начинаете с мировых координат
- OpenGL начинается с координат объекта
- Вы используете матрицу вида для преобразования координат мира в координаты глаз
- OpenGL использует матрицу ModelView для преобразования координат объекта в координаты глаз
Оттуда все будет одинаково.