Ответ 1
Принимая во внимание, что вы говорите, что вы задаете другое имя для файла cookie в файле web.config, я бы сказал, что вы можете прочитать там имя файла cookie.
SessionStateSection sessionStateSection =
(System.Web.Configuration.SessionStateSection)
ConfigurationManager.GetSection("system.web/sessionState");
string cookieName = sessionStateSection.CookieName;