Как ученик-математик, первое, что я сделал, когда узнал о монадах в Хаскелле, было проверить, что они действительно были монадами в том смысле, о котором я знал. Но потом я узнал о монадных трансформаторах, и они, похоже, не изучаются в теории категорий.
В частности, я ожидал бы, что они будут связаны с дистрибутивными законами, но они кажутся действительно разными: трансформатор монады, как ожидается, применим к произвольной монаде, в то время как дистрибутивный закон является делом между монадой и конкретной другой монадой.
Также, глядя на обычные примеры монадных трансформаторов, а MaybeT m составляет m с Maybe, StateT m не является композицией m с State в любом порядке.
Итак, мой вопрос - что такое монадный трансформатор на категориальном языке?
Монадные трансформаторы не очень математически приятны. Тем не менее, мы можем получить хорошие (со) произведения из свободных монадов и, в более общем плане, идеальные монады: см. Гани и Уусталу "Копьютеры идеальных монад": http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.4.2698
Вычисление монадных трансформаторов с теорией категорий Александра Манзюка - это еще одна статья о трансформаторах Монады, к важной концепции присоединения в теории категорий.
Также он использует наиболее приятную особенность теории категорий, на мой взгляд, то есть диаграмму-чеканку, которая натурализует концепцию много.
Надеюсь, это поможет.