Ответ 1
Это невозможно, потому что ваша установка Enterprise GitHub отделена от общедоступной, поэтому нет возможности для двух систем отслеживать отношения друг с другом.
Лучшее, что вы можете сделать, точно так же, как вы описываете: клонировать репо, а затем нажимать на установку GHE, и да, вы потеряете отношения ветвления через репозитории.
Другой вариант заключается в том, чтобы держать вилку в публичном репозитории GH - возможно, синхронизируя его (вручную или с помощью cronjob) с вашим репо GHE. Тогда у вас будет два экземпляра вашего репо, а общедоступный сохранит отношения ветвей с исходным репо.
В зависимости от того, почему вам нужно поставить это на GHE, оно может работать или не работать. Если вы делаете частные взносы, это явно не сработает - поскольку ваши частные взносы больше не будут частными. Если вы хотите, чтобы это было на GHE из-за какой-либо корпоративной политики, что все проекты с открытым исходным кодом, используемые внутри, хранятся на GHE или что-то подобное, тогда это сработает, с добавленными административными издержками для поддержания репо в синхронизации двух мест.