Ответ 1
ОБНОВИТЬ
Я добавил версию кода, основанного на Kadane, для тестирования ниже. Кажется, в моем тестировании разница до 10% (запустите сниппет для случайных тестов).
(Конец обновления)
Лучшее, что я смог придумать в качестве приблизительного значения, - это двоичный поиск по цели со случайными выборками размера окна во время поиска O(log m * n * num_samples_constant), где m - диапазон. В тестировании я видел разницу между грубой силой (ограничена массивом 5000 элементов, в диапазоне ± 1000000000), а последние варьируются от 0 до 30% при размере выборки 200 длин окон. (Может быть, еще одна рутина может уточнить?)
Приведенный ниже код JavaScript запускает 10 тестов и сообщает о самых маленьких и самых больших разностях, а затем просто бинарный поиск по более длинному массиву.
Другие мысли включали использование БПФ для генерации сумм, но я не знаю, может ли быть эффективный способ соотнести каждую сумму с длиной подмассива, которая ее сгенерировала; а также пытаясь найти другое представление о проблеме:
f = sqrt(i - j) * (si - sj), for j < i
f^2 = sqrt(i - j) * (si - sj) * sqrt(i - j) * (si - sj)
= (i - j) * (si^2 - 2si*sj + sj^2)
= i*si^2 - 2i*si*sj + i*sj^2
-j*si^2 + 2j*si*sj - j*sj^2
= i*si^2 +
(-2sj, sj^2, -j, 2j*sj, -j*sj^2) // known before i
dot (i*si, 1, si^2, si, 1)
(Таким образом, если бы мы решили 5-мерное обновление выпуклой оболочки во время регистрации, 5-мерную проблему экстремальных точек и выяснили, был ли наш кандидат положительным или отрицательным, мы были бы хороши, чтобы пойти :)
function prefix_sums(A){
let ps = new Array(A.length + 1).fill(0)
for (let i=0; i<A.length; i++)
ps[i + 1] = A[i] + ps[i]
return ps
}
function brute_force(ps){
let best = -Infinity
let best_idxs = [-1, -1]
for (let i=1; i<ps.length; i++){
for (let j=0; j<i; j++){
let s = (ps[i] - ps[j]) / Math.sqrt(i - j)
if (s > best){
best = s
best_idxs = [j, i - 1]
}
}
}
return [best, best_idxs]
}
function get_high(A){
return A.reduce((acc, x) => x > 0 ? acc + x : acc, 0)
}
function get_low(A){
return Math.min.apply(null, A)
}
function f(A){
let n = A.length
let ps = prefix_sums(A)
let high = get_high(A)
let low = get_low(A)
let best = [-1, -1]
let T = low + (high - low) / 2
let found = false
while (low + EPSILON < high){
T = low + (high - low) / 2
// Search for T
found = false
for (let l=0; l<NUM_SAMPLES; l++){
let w = Math.max(1, ~~(Math.random() * (n + 1)))
for (let i=w; i<ps.length; i++){
let s = (ps[i] - ps[i - w]) / Math.sqrt(w)
if (s >= T){
found = true
best = [i - w, i - 1]
break
}
}
if (found)
break
}
// Binary search
if (found)
low = T
else
high = T - EPSILON
}
return [low, best]
}
function max_subarray(A){
var max_so_far = max_ending_here = A[0]
var startOld = start = end = 0
var divb = divbo = 1
//for i, x in enumerate(A[1:], 1):
for (let i=1; i<A.length; i++){
var x = A[i]
divb = i - start + 1
divbo = divb - 1
if (divb <= 1){
divb = 1
divbo = 1
}
undo = max_ending_here * Math.sqrt(divbo)
max_ending_here = Math.max(x, (undo + x)/Math.sqrt(divb))
if (max_ending_here == x)
start = i
max_so_far = Math.max(max_so_far, max_ending_here)
if (max_ending_here < 0)
start = i + 1
else if (max_ending_here == max_so_far){
startOld = start
end = i
}
}
if (end == A.length-1){
start = startOld + 1
var new_max = max_so_far
divbo = end - startOld + 1
divb = divbo - 1
while (start < end){
new_max = (new_max * Math.sqrt(divbo) - A[start-1])/Math.sqrt(divb)
if (new_max > max_so_far){
max_so_far = new_max
startOld = start
}
start += 1
}
}
return [max_so_far , startOld, end]
}
const EPSILON = 1
const NUM_SAMPLES = 200
let m = 1000000000
let n = 5000
let A
let max_diff = 0
let min_diff = Infinity
let max_diff2 = 0
let min_diff2 = Infinity
let num_tests = 10
for (let i=0; i<num_tests; i++){
A = []
for (let i=0; i<n; i++)
A.push([-1, 1][~~(2 * Math.random())] * Math.random() * m + Math.random())
let f_A = f(A)
let g_A = brute_force(prefix_sums(A))
let m_A = max_subarray(A)
let diff = (g_A[0] - f_A[0]) / g_A[0]
max_diff = Math.max(max_diff, diff)
min_diff = Math.min(min_diff, diff)
let diff2 = (g_A[0] - m_A[0]) / g_A[0]
max_diff2 = Math.max(max_diff2, diff2)
min_diff2 = Math.min(min_diff2, diff2)
}
console.log('${ n } element array')
console.log('${ num_tests } tests')
console.log('min_diff: ${ min_diff * 100 }%')
console.log('max_diff: ${ max_diff * 100 }%')
console.log('min_diff (Kadane): ${ min_diff2 * 100 }%')
console.log('max_diff (Kadane): ${ max_diff2 * 100 }%')
n = 100000
A = []
for (let i=0; i<n; i++)
A.push([-1, 1][~~(2 * Math.random())] * Math.random() * m + Math.random())
var start = +new Date()
console.log('\n${ n } element array')
console.log(JSON.stringify(f(A)))
console.log('${ (new Date() - start) / 1000 } seconds')