Почему FFT (A + B) отличается от FFT (A) + FFT (B)?

Я сражался с очень странной ошибкой почти месяц. Спросить вас, ребята, это моя последняя надежда. Я написал программу на C, которая интегрирует уравнение 2d Cahn-Hilliard, используя схему Implicit Euler (IE) в пространстве Фурье (или обратном):

Где "шляпы" означают, что мы находимся в пространстве Фурье: h_q (t_n + 1) и h_q (t_n) - это FTs h (x, y) в моменты времени t_n и t_ (n + 1), N [h_q] нелинейный оператор, примененный к h_q, в пространстве Фурье, а L_q - линейный, снова в пространстве Фурье. Я не хочу вдаваться в подробности численного метода, который я использую, так как я уверен, что проблема не идет оттуда (я пробовал использовать другие схемы).

Мой код на самом деле довольно прост. Вот начало, где в основном я объявляю переменные, выделяю память и создаю планы для подпрограмм FFTW.

# include <stdlib.h>
# include <stdio.h>
# include <time.h>
# include <math.h>
# include <fftw3.h>
# define pi M_PI

int main(){

// define lattice size and spacing
int Nx = 150;         // n of points on x
int Ny = 150;         // n of points on y
double dx = 0.5;      // bin size on x and y

// define simulation time and time step
long int Nt = 1000;   // n of time steps
double dt = 0.5;      // time step size

// number of frames to plot (at denominator)
long int nframes = Nt/100;

// define the noise
double rn, drift = 0.05;   // punctual drift of h(x)
srand(666);                // seed the RNG

// other variables
int i, j, nt;    // variables for space and time loops

// declare FFTW3 routine
fftw_plan FT_h_hft;   // routine to perform  fourier transform
fftw_plan FT_Nonl_Nonlft;
fftw_plan IFT_hft_h;  // routine to perform  inverse fourier transform

// declare and allocate memory for real variables
double *Linft = fftw_alloc_real(Nx*Ny);
double *Q2 = fftw_alloc_real(Nx*Ny);
double *qx = fftw_alloc_real(Nx);
double *qy = fftw_alloc_real(Ny);

// declare and allocate memory for complex  variables
fftw_complex *dh = fftw_alloc_complex(Nx*Ny);
fftw_complex *dhft = fftw_alloc_complex(Nx*Ny);
fftw_complex *Nonl = fftw_alloc_complex(Nx*Ny);
fftw_complex *Nonlft = fftw_alloc_complex(Nx*Ny);

// create the FFTW plans
FT_h_hft = fftw_plan_dft_2d ( Nx, Ny, dh, dhft, FFTW_FORWARD, FFTW_ESTIMATE );
FT_Nonl_Nonlft = fftw_plan_dft_2d ( Nx, Ny, Nonl, Nonlft, FFTW_FORWARD, FFTW_ESTIMATE );
IFT_hft_h = fftw_plan_dft_2d ( Nx, Ny, dhft, dh, FFTW_BACKWARD, FFTW_ESTIMATE );

// open file to store the data
char acstr[160];
FILE *fp;
sprintf(acstr, "CH2d_IE_dt%.2f_dx%.3f_Nt%ld_Nx%d_Ny%d_#f%.ld.dat",dt,dx,Nt,Nx,Ny,Nt/nframes);

После этой преамбулы я инициализирую свою функцию h (x, y) с равномерным случайным шумом, а также возьму FT. Я устанавливаю мнимую часть h (x, y), которая является dh[i*Ny+j][1] в коде, до 0, так как она является вещественной функцией. Затем я вычисляю Linft qx и qy, и с ними вычисляю линейный оператор моего уравнения в пространстве Фурье, который является Linft в коде. Я рассматриваю только четвертую производную от h как линейный член, так что FT линейного члена просто -q ^ 4... но опять же, я не хочу вдаваться в подробности моего метода интеграции. Вопрос не в этом.

// generate h(x,y) at initial time
for ( i = 0; i < Nx; i++ ) {
  for ( j = 0; j < Ny; j++ ) {
    rn = (double) rand()/RAND_MAX;    // extract a random number between 0 and 1
    dh[i*Ny+j][0] = drift-2.0*drift*rn;    // shift of +-drift
    dh[i*Ny+j][1] = 0.0;
  }
}

// execute plan for the first time
fftw_execute (FT_h_hft);

// calculate wavenumbers
for (i = 0; i < Nx; i++) { qx[i] = 2.0*i*pi/(Nx*dx); }
for (i = 0; i < Ny; i++) { qy[i] = 2.0*i*pi/(Ny*dx); }
for (i = 1; i < Nx/2; i++) { qx[Nx-i] = -qx[i]; }
for (i = 1; i < Ny/2; i++) { qy[Ny-i] = -qy[i]; }

// calculate the FT of the linear operator
for ( i = 0; i < Nx; i++ ) {
  for ( j = 0; j < Ny; j++ ) {
    Q2[i*Ny+j] = qx[i]*qx[i] + qy[j]*qy[j];
    Linft[i*Ny+j] = -Q2[i*Ny+j]*Q2[i*Ny+j];
  }
}

Затем, наконец, наступает цикл времени. По существу, я делаю следующее:

• Время от времени я сохраняю данные в файле и печатаю некоторую информацию на терминале. В частности, я печатаю наивысшее значение FT нелинейного члена. Я также проверяю, если h (x, y) расходится к бесконечности (этого не должно быть!),

• Вычислим h ^ 3 в прямом пространстве (это просто dh[i*Ny+j][0]*dh[i*Ny+j][0]*dh[i*Ny+j][0]). Опять же, мнимая часть установлена в 0,

• Возьмем FT h ^ 3,

• Получите полный нелинейный член в обратном пространстве (то есть N [h_q] в алгоритме IE, написанном выше), вычислив -q ^ 2 * (FT [h ^ 3] - FT [h]). В коде я имею в виду строки Nonlft[i*Ny+j][0] = -q2[i*Ny+j]*(Nonlft[i*Ny+j][0] -dhft[i*Ny+j][0]) и ниже, для мнимой части. Я делаю это, потому что:

• Прогресс во времени с использованием метода IE, преобразование обратно в прямом пространстве, а затем нормализация.

Вот код:

for(nt = 0; nt < Nt; nt++) {

if((nt % nframes)== 0) {
  printf("%.0f %%\n",((double)nt/(double)Nt)*100);
  printf("Nonlft   %.15f \n",Nonlft[(Nx/2)*(Ny/2)][0]);

  // write data to file
  fp = fopen(acstr,"a");
  for ( i = 0; i < Nx; i++ ) {
    for ( j = 0; j < Ny; j++ ) {
      fprintf(fp, "%4d  %4d  %.6f\n", i, j, dh[i*Ny+j][0]);
      }
  }
  fclose(fp);

}

// check if h is going to infinity
if (isnan(dh[1][0])!=0) {
  printf("crashed!\n");
  return 0;
}

// calculate nonlinear term h^3 in direct space
for ( i = 0; i < Nx; i++ ) {
  for ( j = 0; j < Ny; j++ ) {
      Nonl[i*Ny+j][0] = dh[i*Ny+j][0]*dh[i*Ny+j][0]*dh[i*Ny+j][0];
      Nonl[i*Ny+j][1] = 0.0;
  }
}

// Fourier transform of nonlinear term
fftw_execute (FT_Nonl_Nonlft);

// second derivative in Fourier space is just multiplication by -q^2
for ( i = 0; i < Nx; i++ ) {
  for ( j = 0; j < Ny; j++ ) {
    Nonlft[i*Ny+j][0] = -Q2[i*Ny+j]*(Nonlft[i*Ny+j][0] -dhft[i*Ny+j][0]);
    Nonlft[i*Ny+j][1] = -Q2[i*Ny+j]*(Nonlft[i*Ny+j][1] -dhft[i*Ny+j][1]);
  }
}

// Implicit Euler scheme in Fourier space
 for ( i = 0; i < Nx; i++ ) {
    for ( j = 0; j < Ny; j++ ) {
      dhft[i*Ny+j][0] = (dhft[i*Ny+j][0] + dt*Nonlft[i*Ny+j][0])/(1.0 - dt*Linft[i*Ny+j]);
      dhft[i*Ny+j][1] = (dhft[i*Ny+j][1] + dt*Nonlft[i*Ny+j][1])/(1.0 - dt*Linft[i*Ny+j]);
    }
}

// transform h back in direct space
fftw_execute (IFT_hft_h);

// normalize
for ( i = 0; i < Nx; i++ ) {
  for ( j = 0; j < Ny; j++ ) {
      dh[i*Ny+j][0] = dh[i*Ny+j][0] / (double) (Nx*Ny);
      dh[i*Ny+j][1] = dh[i*Ny+j][1] / (double) (Nx*Ny);
  }
}

}

Последняя часть кода: пустая память и уничтожение планов FFTW.

// terminate the FFTW3 plan and free memory
fftw_destroy_plan (FT_h_hft);
fftw_destroy_plan (FT_Nonl_Nonlft);
fftw_destroy_plan (IFT_hft_h);

fftw_cleanup();

fftw_free(dh);
fftw_free(Nonl);
fftw_free(qx);
fftw_free(qy);
fftw_free(Q2);
fftw_free(Linft);
fftw_free(dhft);
fftw_free(Nonlft);

return 0;

}

Если я запустил этот код, я получаю следующий вывод:

0 %
Nonlft   0.0000000000000000000
1 %
Nonlft   -0.0000000000001353512
2 %
Nonlft   -0.0000000000000115539
3 %
Nonlft   0.0000000001376379599

...

69 %
Nonlft   -12.1987455309071730625
70 %
Nonlft   -70.1631962517720353389
71 %
Nonlft   -252.4941743351609204637
72 %
Nonlft   347.5067875825179726235
73 %
Nonlft   109.3351142318568633982
74 %
Nonlft   39933.1054502610786585137
crashed!

Кодекс падает до достижения цели, и мы видим, что нелинейный член расходится.

Теперь то, что не имеет для меня смысла, заключается в том, что если я изменю линии, в которых я вычисляю FT нелинейного термина следующим образом:

// calculate nonlinear term h^3 -h in direct space
for ( i = 0; i < Nx; i++ ) {
  for ( j = 0; j < Ny; j++ ) {
      Nonl[i*Ny+j][0] = dh[i*Ny+j][0]*dh[i*Ny+j][0]*dh[i*Ny+j][0] -dh[i*Ny+j][0];
      Nonl[i*Ny+j][1] = 0.0;
  }
}

// Fourier transform of nonlinear term
fftw_execute (FT_Nonl_Nonlft);

// second derivative in Fourier space is just multiplication by -q^2
for ( i = 0; i < Nx; i++ ) {
  for ( j = 0; j < Ny; j++ ) {
    Nonlft[i*Ny+j][0] = -Q2[i*Ny+j]* Nonlft[i*Ny+j][0]; 
    Nonlft[i*Ny+j][1] = -Q2[i*Ny+j]* Nonlft[i*Ny+j][1];
  }
}

Это означает, что я использую это определение:

вместо этого:

Тогда код абсолютно стабилен и никаких расхождений не происходит! Даже в течение миллиардов шагов! Почему это происходит, поскольку два способа расчета Nonlft должны быть эквивалентными?

Большое вам спасибо всем, кто найдет время, чтобы прочитать все это и оказать мне помощь!

EDIT: Чтобы сделать вещи еще более странными, я должен отметить, что эта ошибка НЕ происходит для одной и той же системы в 1D. В 1D оба метода расчета Nonlft устойчивы.

EDIT: Я добавляю короткую анимацию того, что происходит с функцией h (x, y) непосредственно перед сбоем. Кроме того: я быстро переписал код в MATLAB, который использует функции Fast Fourier Transform, основанные на библиотеке FFTW, и ошибка НЕ происходит... тайна углубляется.

Ответы

  Nonl[i*Ny+j][0] = dh[i*Ny+j][0]*dh[i*Ny+j][0]*dh[i*Ny+j][0];
  Nonl[i*Ny+j][1] = 0.0;

  Nonl[i*Ny+j][0] = dh[i*Ny+j][0]*dh[i*Ny+j][0]*dh[i*Ny+j][0] -3.0*dh[i*Ny+j][0]*dh[i*Ny+j][1]*dh[i*Ny+j][1];
  Nonl[i*Ny+j][1] = -dh[i*Ny+j][1]*dh[i*Ny+j][1]*dh[i*Ny+j][1] +3.0*dh[i*Ny+j][0]*dh[i*Ny+j][0]*dh[i*Ny+j][1];

Nonlft[i*Ny+j][0] = -Q2[i*Ny+j]*(Nonlft[i*Ny+j][0] -dhft[i*Ny+j][0]);
Nonlft[i*Ny+j][1] = -Q2[i*Ny+j]*(Nonlft[i*Ny+j][1] -dhft[i*Ny+j][1]);

Nonlft[i*Ny+j][0] = -Q2[i*Ny+j]* Nonlft[i*Ny+j][0]; 
Nonlft[i*Ny+j][1] = -Q2[i*Ny+j]* Nonlft[i*Ny+j][1];

  dh[i*Ny+j][0] = dh[i*Ny+j][0] / (double) (Nx*Ny);
  dh[i*Ny+j][1] = dh[i*Ny+j][1] / (double) (Nx*Ny);