Ответ 1
Как отмечалось в комментариях, это понятие "параметризованной монады", введенное Робертом Аткимом в его статье " Параметризированные понятия вычисления". Это соответствует понятию категории, обогащенной категорией эндофенторов в теории категорий.
Для категории C обогащенной над категорией V с моноидальной структурой (I, x) означает, что для любых объектов X, Y из C Hom-объект Hom(X, Y) является объектом V и существуют морфизмы I → Hom(X, X) и Hom(Y, Z) x Hom(X, Y) → Hom(X, Z). Должны выполняться определенные условия существования и ассоциативности, соответствующие обычным требованиям идентичности и ассоциативности для категории.
Монада M на C можно рассматривать как категорию с одним объектом, обогащенную над эндофунториальными элементами на C Поскольку существует только один объект X, существует также один Hom-объект Hom(X, X), который является M Возвратная операция порождает тождественный морфизм, естественное преобразование I → M, а операция объединения порождает композиционный морфизм, естественное преобразование M x M → M Условия идентичности и ассоциативности тогда точно соответствуют условиям монады.
Параметризованная монада M на C с параметрами, взятыми из некоторого множества S можно рассматривать как категорию с элементами S как объекты, обогащенную над endofunctors of C Hom-объект Hom(X, Y) является MXY а операции return и join описанные в вопросе, снова порождают семейства требуемых морфизмов.